高考数学母题：立体几何试题的“创新情结”.docVIP

第19讲:立体几何试题的“创新情结” 103 第19讲:立体几何试题的“创新情结” 揭秘情结 立体几何是历次课程改革的“实验田”,课标与课程比较,文科立体几何内容发生了较大的变化,课标只保留课程中的第一节,即线面位置关系,册去了夹角、距离和空间向量,增加了三视图、旋转体和面积、体积;程标中理科立体几何实质上包括两种理论体系:一是在必修II中建立的综合理论体系,这一体系的重点是研究位置关系,特点是推理论证;二是在选修II-1中建立的向量理论体系,这一体系的重点是研究度量(包括成角和距离)关系,特点是运算求解;安徽高考立体几何的命题传承了“改革”,安徽高考立体几何命题的“情结”是“创新”. 情结渊源 1.文科试题: 1.(2009年安徽高考试题第五题)如图,ABCD的边长为2的正方形, l E F 直线l与平面ABCD平行,E和F直线l上的两个不同点,且EA=ED, FB=FC,和是平面ABCD内的两点,E和F都与平面ABCD D C 垂直. (Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD; A B (Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=600,EF=2,求多面体ABCDEF的体积. [解析]:(Ⅰ)由E⊥平面ABCDE⊥A,E⊥D,由EA=ED,且E公用Rt△EA≌Rt△EDA=D点在线段AD的垂直平分线上,同理可得:点在线段AD的垂直平分线上直线垂直且平分线段AD; (Ⅱ)(法一)过点作MN∥AD,分别交AB,CD于点M,N,过点作ST∥AD,分别交AB,CD于点S,T,则多面体ABCDEF的体积=直三棱柱EMN_FST的体积=2; (法二)多面体ABCDEF的体积=所有棱长均为2的正四棱锥E-ABCD与棱长为2的正四面体BCEF的体积和=2. 2.(2010年安徽高考试题第四题)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD E F 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点. (Ⅰ)求证:FH∥平面EDB; D C (Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB; H (Ⅲ)求四面体B—DEF的体积. A B [解析]:(Ⅰ)设AC与BD交于点OOH∥AB,且AB=2OH,由EF∥AB,AB=2EFOH平行且等于EFFH∥EOFH∥平面EDB; (Ⅱ)EF∥AB,EF⊥FBAB⊥FB,AB⊥BCAB⊥平面BCFAB⊥FHFH⊥AB,又因FH⊥BCFH⊥平面ABCDEO⊥平面ABCDEO⊥ACAC⊥EO,又因AC⊥BDAC⊥平面EDB; (Ⅲ)四面体B—DEF的体积=四面体B—CEF的体积=. 3.(2011年安徽高考试题第四题)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD F 垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形. C (Ⅰ)证明:直线BC//EF; A O D (Ⅱ)求棱锥F-OBED的体积. B [解析]:(Ⅰ)分别取OE,OF的中点M,N,分别取OA,OD的中点S,T,则BM平行 E 且等于ST,CN平行且等于STBM平行且等于CNBC∥MNBC∥EF; (Ⅱ)因FT⊥OD,平面ABED与平面ACFD垂直FT⊥平面ABED棱锥F-OBED的体积=. 104