高考数学母题：立体几何的模型解题理论.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 立体几何的模型解题理论 模型解题法总论 现行高中立体几何有两种解题理论:一是以欧式几何中的公理、定理及推论为基础,以逻辑推理为手段综合分析法;二借助空间直角坐标系,以向量为主要工具的解析向量法;实质上,立体几何问题大都以某空间几何体为载体的,因此,我们可以另辟蹊径,着意于几何体的研究,尤其是几何体的类型、生成,即从模型的角度,通过寻找构造几何体的“原型几何体”或“原子几何体”,来探索立体几何问题,此种解题方法我们称之为模型解题法. [母题结构]:探讨模型解题理论,即模型解题方法. [解题程序]:立体几何中,多面体的“原型几何体”是平行六面体(包括正方体和长方体);多面体的“原子几何体”是四面体(包括正四面体、直角四面体和“鳖臑”(四个面均是直角三角形的四面体)等;模型解题法:①把题中的几何体放置于“原型体”中,利用“原型体”模型,解决问题;②寻找构造题中几何体的“原子体”,通过“原子体”,解决问题. 1.原型几何体 子题类型Ⅰ:(1993年上海高考试题)设a、b是两条异面直线,在下列命题中正确的是( ) (A)有且仅有一条直线与a、b都垂直 (B)有一平面与a、b都垂直 (C)过直线a有且仅有一平面与b平行 (D)过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交 [解析]:构造长方体ABCD-A1B1C1D1,设直线a为AB,直线b为B1D1,如图: 则由BB1⊥AB,BB1⊥B1D1BB1⊥a,BB1⊥b平行于BB1的任意直线c,均有 C⊥a,c⊥b(A)错误;若平面α满足a⊥α,b⊥βa∥b,矛盾(B)错 误;由B1D1∥BD,且相交直线AB与BD确定唯一平面(C)正确;若点为C, 则过点C且与AB相交的直线m在平面ABCD内,又因B1D1∥平面ABCD直线m与b不相交(D)错误.故选(C). [点评]:长方体是最具模型功能的“原型几何体”,如长方体ABCD-A1B1C1D1是异面直线AB与B1D1的绝佳模型,∠ABD是异面直线AB与B1D1的成角,异面直线AB与B1D1的距离=长方体的高. 2.原子几何体 子题类型Ⅱ:(2011年湖北高考试题)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3, 点E在侧棱AA1上,点F在侧棱BB1上,且AE=2,BF=. (Ⅰ)求证:CF⊥C1E; (Ⅱ)求二面角E-CF-C1的大小. [解析]:由CF=EF=C1E=,CE=C1F=2C1E⊥EC,C1F⊥FC,EF⊥FC四面体C1CEF如图所示;(Ⅰ)由 CF⊥C1F,CF⊥EFCF⊥平面C1EFCF⊥C1E;(Ⅱ)由C1F⊥FC,EF⊥FC∠C1FE是二面角E-CF-C1的平面 角;又由C1E⊥ECC1E⊥平面CEFC1E⊥EF,EF=C1E=∠C1FE=450二面角E-CF-C1的大小为450. [点评]:最具解题功能的“原子几何体”是“鳖臑”,解答本题的关键是发现四面体C1CEF是“鳖臑”; 关于“鳖臑”更深入的解题功能,将在以后的中研究. 3.旋转体的原子体 子题类型Ⅲ:(2015年浙江高考试题)如图,斜线段AB与平面α所成的角为600,B为斜足, 平面α上的动点P满足∠PAB=300,则点P的轨迹是( ) (A)直线 (B)抛物线 (C)椭圆 (D)双曲线的一支 [解析]:由动点P满足∠PAB=300动点P在以点A为顶点、直线AB为轴的圆锥A表 面上;又由斜线段AB与平面α所成的角为600点P的轨迹是用一个与圆锥轴线AB成 600角的平面α截圆锥A所得图形为椭圆.故选(C). [点评]:设圆锥的轴线与母线所成角为θ,轴线与截面所成角为α,则:①当α=900时, 截线是圆;②当θα900时,截线是椭圆;③当α=θ时,截线是抛物线;④当00αθ时,截线是双曲线. 4.子题系列: 1.(2007年浙江高考试题)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( ) (A)过点P有且仅有一条直线与l,m都平行 (B)过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直 (C)过点P有且仅有一条直线与l,m都相交 (D)过点P有且仅有一条直线与l,m都异面 2.(1986年全国高考试题)在正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、 SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在