高考数学母题：立体几何的模型化解题法.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 立体几何的模型化解题法 模型化解题法总论 高考立体几何命题的着力点有二:一是着意于设计问题的载体模型(即几何体);二是专注于设计问题的层次类型(包括位置关系证明和度量问题求解),因此,对高考立体几何试题(解答题)的研究,除常见的,以问题类型分类研究外,还可从几何载体角度进行,这就引发了模型化解题法. [母题结构]:探讨模型化解题法的基本思想. [解题程序]:高考立体几何试题的重要载体模型是多面体,多面体的“原型几何体”是平行六面体(包括正方体和长方体);多面体的“原子几何体”是四面体(包括正四面体、直角四面体和“鳖臑”(四个面均是直角三角形的四面体)、正方体等;模型化解题法:①把题中的几何体放置于“原型体”中,利用“原型体”模型,解决问题;②寻找构造题中几何体的“原子体”,通过“原子体”,解决问题. 1.模型化基本功能 子题类型Ⅰ:(2015年山东高考试题)如图,在三棱 台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面FGH; (Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=450,求平 面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小. [解析]:(Ⅰ)在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DEAC=2DFCG=FD,且CG∥FD四边形CGDF是平行四边形;设CD与FG交于点P,则P是CD的中点HP∥BD,又HP平面FGH,BD平面FGHBD∥平面FGH; (Ⅱ)在长方体中作出几何体,如图,由AB⊥BC,∠BAC=450长方体的底面是正方形四边形CHGM是正方形;又CF=DE四棱柱CHFM-FEDN是正方体;又BG⊥平面ACFD,CE⊥平面FGH平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小=直线BG与CE所成的角的大小;又由BG∥HM,CE∥DM直线BG与CE所成的角=∠HMD=600. [点评]:模型化的基本功能:①依托多面体的“原型几何体”(长方体)的衬托作用,把握几何载体的结构;②扩大解题活动的空间,便于条件转化集中,从而利用“原子几何体”,直解相关问题. 2.模型化与综合法 子题类型Ⅱ:(1998年全国高考试题)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=900,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C. (Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小; (Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小; (Ⅲ)求顶点C到侧面A1ABB1的距离. [解析]:在长方体中作出斜三棱柱ABC-A1B1C1,如图: (Ⅰ)取AC的中点H,由AA1⊥A1C,AA1=A1C∠A1AH=450,A1H⊥AC,又侧面A1ACC1⊥底面ABCA1H⊥底面ABC侧棱A1A与底面ABC所成角为∠A1AH=450; (Ⅱ)取AB的中点D,则DH∥BC,由∠ABC=900AB⊥BCAB⊥DH;又由A1H⊥底面ABCA1H⊥ABAB⊥平面ADH∠A1DH是侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的平面角;由BC=2DH=1;由AC=2A1H=tan∠A1DH=∠A1DH=600侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小=600; (Ⅲ)由AC的中点为H点C到侧面A1ABB1的距离=点H到侧面A1ABB1距离的2倍;由AB⊥平面ADH平面A1AB⊥平面ADH点H到侧面A1ABB1的距离=点H到直线A1D的距离d,由A1Dd=A1HDHd=点C到侧面A1ABB1的距离=2d=. [点评]:模型化的基本功能是揭示出几何载体的结构,从而可顺利转化题目条件,易于作出待求的几何量,便于使用综合法,分析解决问题. 3.模型化与解析法 子题类型Ⅲ:(2010年江西高考试题)如图,ΔBCD与ΔMCD都是边长 为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2. (Ⅰ)求点A到平面MBC的距离; (Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值. [解析]:在长方体中作出几何体,并以B为坐标原点,直线BA、CD的中 垂线分别为y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,2),C(1,,0),D(-1,,0),M(0,,); (Ⅰ)设平面MBC的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x+y=0,y+z=0,令y=-1得m=(,-1,1);又=(0,0, 2)点A到平面MBC的距离d==; (Ⅱ)设平面ACM的法向量n=(x,y,z),由n=0,n=0y-z=0,x-z=0,令y=1得n=(,1,1),又平面NCD的法向量k=(0,0,1)cosn,k=平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值=. [点评]:模