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MDS博明学校2013年高考2010年高一数学预讲 指数函数 知识梳理 1、分数指数幂的掌握；2、指数函数的图象与性质。 　　一、基本概念 　　1．根式： 　　若xn=a，则称x是a的n次方根，　　（1）当n为奇数时， 　　（2）当n为偶数时， 　　又有： 　　（1）当n为奇数时， 　　（2）当n为偶数时， 　　2．分式指数幂： 　　(a0, m,n∈N*, n1) 　　(a0, m,n∈N*, n1) 　　3．指数运算法则： 　　（1）am·an=am+n　　（2）(am)n=amn　　（3）(ab)m=ambm 其中(a0, b0, m,nQ) 　　4．幂函数的图象： 　　幂函数不作为课本要求，但幂函数中很多个已经是我们学过的。而对于ab=N中，固定一个数，另外两个数可以构成函数关系，而形如y=xn称为幂函数，而其中y=x，y=x2，y=x3，y=x-1都是我们已经研究过的，而我们只再研究, y=x0, 即可。这些函数的图象如下： 　　 　　　　　　 　　　　　 　　由图知：幂函数在第一象限都有图象，图象恒过(1,1)点，当n0时图象是上升的（函数为增函数），当n0时，图象是下降的（函数是减函数）对于幂函数的研究就到这里。 　　5．指数函数： 　　函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数。对于底数a，当a≤0时，指数x要受到很大限制，但这些限制又很难确定，当a=1时，因为1x=1，没有变化，没有太大的价值，所以限定a0且a≠1。 　　定义域：R 　　值域：(0,+∞) 　　单调性：a1，在R上为增函数；0a1，在R上为减函数。 　　奇偶性：非奇非偶函数 　　图象： 　　指数函数我们高中阶段研究的第一个具体函数，应该在我们研究函数一般要素和性质的基础上对这些具体函数加以研究，即研究一个函数从哪些方面进行研究，以及如何与其他函数综合考虑。 　　二、例题选讲 　　例1．化简下列各式： 　　（1） 　　（2） 　　（3） 　　解：（1）。 　　（2）。 　　（3） 　　　　 　　例2．已知：，求：的值。 　　解：，　　，即x+x-1=7, 　　, 　　,　　 x2+x-2=(x+x-1)2-2=47, 　　 原式=。 　　例3．已知：，求：的值。 　　解：选求定义域，即：。 　　由得，　　。 　　例4．求函数的定义域。 　　解：由，即， 　　得x2-4x+3≥0，即x≥3或x≤1，　　 定义域：{x|x≤1或x≥3}。 　　例5．已知：y=4x-3·2x+3的值域为[1，7]，求：x的取值范围。 　　解： 函数的值域为[1，7]， 1≤4x-3·2x+3≤7, 　　　　　 , 　　 x≤0或1≤x≤2。 　　例6．判断函数：的奇偶性。 　　解： ax-1≠0，　　 x≠0, 定义域：(-∞,0)(0,+∞)， 　　 　　， 　　 f(x)为奇函数。 　　又解：定义域：(-∞,0)(0,+∞)， 　　， 　　 f(-x)=-f(x), ∴ f(x)为奇函数。 　　例7．求证：y=2x在R上是增函数。 　　证明：任取x1,x2R，且x1x2，y1-y2= 　　 x1x2， x2-x10, 　　 幂函数y=xn(n0)在(0,+∞)上为增函数， 　　，　　，　　, 　　 y1-y20，即y1y2，　　 y=2x在R上是增函数。 　　例8．求函数的单调区间。 　　解：本题中函数是由指数函数与二次函数复合而成，可由下列办法判断单调区间： 　　令　　定义域为R，二次函数的单调区间为(-∞,1]，[1,+∞)，则有： 　　 　　由此得到的单调增区间为(-∞,1], 单调减区间为[1,+∞)。 　　三、课后练习 　　1．（ ）。　　A、　　B、　　C、　　D、 　　2．若a1，b0，且，则ab-a-b=（ ）。 　　A、　　B、2或-2　　C、-2　　D、2 　　3．a,bR，下列各式恒成立的是（ ）。 　　A、　　B、 　　C、　　D、 　　4．若函数y=(a2-1)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）。 　　A、　　B、1|a|2　　C、　　D、 　　5．已知：0a1，求：b=aa, c=ba, d=ab的大小关系。 　　6．求函数y=-4x+2x+2+1的值域。 　　四、练习答案： 　　1. C　　2.D　　3.B　　4.C 　　5. 解：b=aa 　　 　　 　　 0a1, ∴ aaa1a2, ∴ , ∴ dbc. 　　6．解：y=-(2x)2+4·2x-4+5=-(2x-2)2+5 　　当2x=2即x=1时，ymax=