2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：19 Word版含解析.docVIP

跟踪强化训练(十九) 1．(2017·沈阳质检)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，首项a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4， 即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1. 又d≠0，d＝1，可得an＝n. (2)由(1)得bn＝n＋2n， Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n) ＝＋2n＋1－2. [解]　(1)由题意得，解得 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－(n－1)n， 所以an＝nan＋1－n(n＋1)－(n－1)an＋(n－1)n， 即an＋1－an＝2. 又a2－a1＝2，因而数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 从而an＝2n－1.Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n， 2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1. 两式相减得 －Tn＝1×21＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1 ＝－2＋2×(21＋22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1 ＝－2＋2×－(2n－1)×2n＋1 ＝－2＋2n＋2－4－(2n－1)×2n＋1＝－6－(2n－3)×2n＋1. 所以Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1. 3．数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(nN*)． (1)求证：{Sn－3n}是等比数列； (2)若{an}为递增数列，求a1的取值范围． [解]　(1)证明：an＋1＝Sn＋3n，(nN*) ∴Sn＋1＝2Sn＋3n， Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，a1≠3. ∴＝2， 数列{Sn－3n}是公比为2，首项为a1－3的等比数列． (2)由(1)得Sn－3n＝(a1－3)×2n－1，Sn＝(a1－3)×2n－1＋3n， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，{an}为递增数列， n≥2时，(a1－3)×2n－1＋2×3n(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，n≥2时， 2n－20， 可得n≥2时，a13－12×n－2， 又当n＝2时，3－12×n－2有最大值为－9， a1－9，又a2＝a1＋3满足a2a1， a1的取值范围是(－9，＋∞)． 4．(2017·昆明模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＝2anSn－2S. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正数k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由． [解]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，an＝2anSn－2S， Sn－Sn－1＝2(Sn－Sn－1)Sn－2S. Sn－1－Sn＝2SnSn－1. －＝2. 数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列， 即＝1＋(n－1)×2＝2n－1. Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－ ＝. 数列{an}的通项公式为an＝ (2)设bn＝， 则bn＋1＝. 由(1)知Sn＝，Sn＋1＝， ＝＝ ＝ 1. 又bn0，数列{bn}是单调递增数列． 由(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k，得bn≥k. k≤b1＝＝. 存在正数k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k对一切正整数n都成立，且k的取值范围为.