2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：26 Word版含解析.docVIP

跟踪强化训练(二十六) 1．(2017·合肥质检)已知点F为椭圆E：＋＝1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M. (1)求椭圆E的方程； (2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围． [解]　(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1，由，得x2－2x＋4－3c2＝0. 直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M， Δ＝4－4(4－3c2)＝0c2＝1， 椭圆E的方程为＋＝1. (2)由(1)得M， 直线＋＝1与y轴交于P(0,2)， |PM|2＝， 当直线l与x轴垂直时， |PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1， λ|PM|2＝|PA|·|PB|λ＝， 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(3＋4k2)x2＋＋16kx＋4＝0， 依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)0， |PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，λ＝， k2，λ1. 综上所述，λ的取值范围是. 2．(2017·长春二模)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的平分线，证明直线l过定点． [解]　(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)， 由题意，知|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点， |O1M|＝， 又|O1A|＝， ＝， 化简得y2＝8x(x≠0)． 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x. (2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx＋b代入y2＝8x， 得k2x2＋(2bx－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋640. 由根与系数的关系得，x1＋x2＝， x1x2＝. 因为x轴是PBQ的平分线， 所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 整理得2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0， 将代入并化简得8(b＋k)＝0， k＝－b，此时Δ0， 直线l的方程为y＝k(x－1)， 即直线l过定点(1,0)． 3．(2018·湖北部分重点中学高三起点考试)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，左焦点为F(－1,0)，过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由． [解]　(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为 y＝kx＋2， 由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－， x1x2＝. 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－， y1＋y2＝(kx1＋2)＋(kx2＋2)＝k(x1＋x2)＋4＝. 设存在点E(0，m)，则＝(－x1，m－y1)， ＝(－x2，m－y2)， 所以·＝x1x2＋m2－m(y1＋y2)＋y1y2 ＝＋m2－m·－ ＝. 要使得·＝t(t为常数)， 只需＝t，从而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t＝0， 即解得m＝，从而t＝， 故存在定点E，使·恒为定值. 4．(2017·广东惠州第三次调研)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． [解]　(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1， 因为A在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2， 因此a＝，b2＝a2－c2＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)椭圆C上不存在这样的点Q，证明如下：设直线的方程为y＝2x＋t， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P， Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)， 由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0， 所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)0， 故y0＝＝，且－3t3