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一道课本探究题结论应用 　　中考数学试题中经常会出现求两线段和的最小值问题，同学们常常找不到解题的突破口，其实这类问题可利用几何对称知识，通过作对称点求最短距离来解决. 　　引例 如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？（义务教育课程标准实验教科书人教版八年级《数学》上册第42页探究） 　　 　　图1 　　 　　图2 　　 　　如图2，取点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点C，点C即为所求. 　　事实上，若在l上另取一点C′，根据轴对称可知B′C＝BC，所以AC+BC＝AC+B′C＝AB′，而AC′+BC′＝AC′+B′C′＞AB′，由此证明了作图的正确性. 　　这一问题内涵丰富，解题过程蕴含着化折为直的思想、对称变换的思想.这里作对称变换的目的是将几条线段转换到同一条直线上，再利用“两点之间线段最短”这一公理使问题顺利解决.这一几何模型无论是在理论上还是在生产实践中都有其应用价值，现在就近几年出现的中考试题加以分析说明. 　　图3 　　例1 （2010湖北鄂州）如图3所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上， 点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA的最小值是 　　（ ） 　　A 210B 10 　　C 4D 6 　　解析 PD+PA的和是OB同侧的两定点D、A到OB上一点P的距离之和，由引例中几何模型可知，要求PD+PA的最小值，只须作D或A点关于OB的对称点，而由正方形的对称性可知A、C关于OB对称，这样连接DC，则DC即是PD+PA的最小值.由D点的坐标为（2，0），可得OD＝2.在Rt△ODC中， CD=OC2+OD2=210.选A. 　　例2 （2010江苏淮安）（1） 观察发现：如图4（1），若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小. 　　作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接A B′，与直线l的交点就是所求的点P. 　　再如图4（2），在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小. 　　作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 . 　　 　　图4（1） 　　 　　图4（2） 　　 　　（2） 实践运用：如图4（3），已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值. 　　 　　图4（3） 　　 　　图4（4） 　　 　　（3） 拓展延伸：如图4（4），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法. 　　解析 （1） 审题后发现要求BP+PE的最小值实质就是在高AD上求一点P，使得它到其同侧的两定点B、E的距离和最小.根据等边三角形是轴对称图形，可知B和C关于AD对称，所以CE就是BP+PE的最小值.由E是AB的中点可得BE＝1，且CE⊥AB.在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BP+PE的最小值为3. 　　（2） 深究题意后，不难发现其实质是在直径CD上求一点P，使其到同侧的两个定点A、B的距离和最小.如图5，作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD于点P，此时AP+BP就最短.因为AD的度数为60°，点B是AD的中点，所以∠AEB=15°.因为B关于CD的对称点为E，所以∠BOE=60°，所以△OBE为等边三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因为OA=OE，所以△OAE为等腰直角三角形，所以AE=22. 　　 　　图5 　　 　　图6 　　 　　（3） 如图6，找B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于点P即可. 　　例3 （2011广东深圳）如图7（1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）. 　　（1） 求抛物线的解析式； 　　（2） 如图7（2），过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由. 　　（3） 如图7（3），在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 　　解析 （1） 由顶点C（1，4