概率论与数理统计课件（王志勇）c1-3.pptVIP

* * * * 条 件 概 率　 * * 一、条件概率 在计算事件的概率时，一个事件与另一个事件 有一定的联系。 我们把已知事件B发生的条件下,事件A发生的可能性的客观度量称为条件概率，记为P(A|B)。 抽 签 试 验 例如： §3 条 件 概 率 条件概率 与无条件概率 之间没有确定的大小关系。 对条件概率P(A|B)的理解： 1) 条件概率与积事件的概率有别。 条件概率有先后次序之分,积事件无先后次序之分. 2) 条件概率可通过原来的概率计算得到。 定义：设A，B是随机试验E的两个随机事件,且P(B) 0，称 ) ( ) ( ) | ( B P AB P B A P = 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。 条件概率的性质: 注意：由于条件概率易与概率混淆，故在应用中，不仅会算，还要会判断问题是否涉及条件概率。 二、乘法公式 定理：设P ( B ) 0，则有 P ( AB ) = P ( B ) P ( A|B ) 若P ( A ) 0，有 P ( AB ) = P ( A ) P ( B|A ). 注：该公式是概率计算中的重要公式。关键是分清题 目中的条件概率. 更一般地有，若P ( A1 A2 … An-1 ) 0，则 P (A1A2…An-1An) = P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1 ) 空战试验 例如： 三、全概率公式 当事件的概率计算很复杂时,我们可以对基本事件进行分类计算. 摸球试验 引例: 定义：设W 为随机试验E 的样本空间，B1，B2 , …，Bn为E 的一组事件，若 (1) Bi∩Bj = f ，i ≠ j； (2) B1∪B2 ∪ … ∪ Bn= W 。 称B1，B2 ，…，Bn 为W 的一个有限划分. 定理（全概率公式）：设随机试验E的样本为W，A W ， B1，B2 ，…，Bn 为W 的一个有限划分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, …, n ; 则有 ∪ ∑ = = n i i i B A P B P A P 1 ) | ( ) ( ) ( 证明： B1，B2 ，…，Bn 为W 的一个有限划分 W =B1∪B2 ∪ … ∪ Bn 从而有 A = A∩ W = A（ B1∪B2 ∪ … ∪ Bn ） 吸收律 U n i=1 i AB ) ( = 分配律 注:该公式常用在预测推断中，又称为事前概率. 抽检试验 例如： 抽签的公平性 又因为 (ABi) ∩ (ABj) = A ∩(BiBj) = Af = f , i ≠ j 由概率的有限可加性 ∑ = = = = n i i n i i AB P AB P A P 1 1 ) ( ) ( ) ( U 因为P(Bi) 0, i = 1, 2, …, n，利用乘法公式得 ∑ = = n i i i B A P B P A P 1 ) | ( ) ( ) ( 某仪器有三个灯泡，烧坏第一、二、三灯泡的概率分别为0.1,0.2,0.3，并且相互独立。当灯泡未被烧坏时仪器正常工作。当烧坏一个灯泡时仪器发 生故障的概率为0.5，两个为0.6 三个为0.9 。求仪器发生故障的概率。 对此问题我们给出的划分应为： 思 考： 在应用中，我们常遇到：在已知结果已经发生的条件下，去找出最有可能导致它发生的原因。 四、贝叶斯公式 定理（贝叶斯公式）：设随机试验E的样本为W，A W ， B1，B2 ，…，Bn 为W 的一个有限划分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, …, n ; 则有 ∪ ∑ = = n i i i j j j B A P B P B A P B P A B P 1 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( 证明： P(Bj | A) = P(ABj ) P(A) P(Bj )P(A|Bj) P(A) = 贝叶斯公式用来计算事后概率。在实际应用中，如果把事件A看成“结果”，把事件B1，B2，…，Bn看成导致该结果的可能的“原因”。“结果”发生了，P(Bj|A)即为“原因”Bj导致该结果发生的概率。 实际中的例子有很多：设备维修，计算机诊病等等。 病情诊断试验 例如： 例1 100件产品中有5件不合格，其中3 件是次品，2 件是废品，