概率论与数理统计课件（王志勇）c4-1.pptVIP

* * * * * * * 数 学 期 望 Xi的分布律为： Xi 1 2 ….. m …… P{Xi=m} p (1-p)p ….. (1-p)m-1p …… 例4.1.8 向某一目标进行射击,直至命中k次为止. 已知命中率为p0 .求射击次数X 的数学期望. 数 学 期 望 解：设Xi表示第i - 1次命中以后.到第i次命中的射击次数. 则有X=X1+X2+….+Xk Xi的分布律为： Xi 1 2 ….. m …… P{Xi=m} p (1-p)p ….. (1-p)m-1p …… ? 例4.1.6 解: 设 Yi为第i次检查时发现的次品数,则Yi~B(10,0.1) 设 显然有 某批产品的次品率为0.1,检验员每天检查4 次, 每次随机地取10件产品进行检验,如果发现其中的 次品数多于1 ,就去调整设备. 以X 表示一天中调整 设备的次数,试求 E(X). 则 Xi服从0-1分布 Xi 0 1 p 1.9(0.9)9 1-1.9(0.9)9 ? 1)设R.V.X服从拉普拉斯分布,其概率密度为: 解: 2)设R.V.Y服从柯西分布,其概率密度为: 求 E(X) 被积函数为奇函数且积分区间关于原点对称 例4.1.1 被积函数为奇函数且积分区间关于原点对称 在一般的E(X)计算中,为简便记,我们常省略事先判断绝对收敛这一步. ? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 数 学 期 望　 * * 第 四 章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 定义： 设 X是离散型随机变量, 其分布律为 引 例 一. 随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的概率密度为f (x), 例 4. 1. 1 注1 随机变量的数学期望是它所有可能取值的加权平均值, 是一个数. 注2 定义中的绝对收敛保证数学期望的唯一性. 注3 部分随机变量X 的数学期望不存在. ( ) ( ) l l = X E P ~ X . 则 1 证 明 ( ) ( ) np X E p , n B ~ X . = 则 2 证 明 ( ) ( ) m s m = X E , N ~ X . 则 2 3 证 明 4.两点分布 p 1-p P 1 0 X 常见分布的数学期望 E(X)=p 5. 均匀分布 E(X)=(b+a)/2 6. 指数分布 E(X)=λ-1 二. 随机变量函数的数学期望 定理： 随机变量X的函数Y=g(X), g(x)为连续函数 1) X是离散型随机变量，其分布律为 设X 是随机变量, Y=g (X)也是随机变量, 如何计算E[g(X)]？ 2) X是连续型随机变量，其概率密度为f (x), 例 4.1.2 例 4.1.3 此定理乃本章核心定理 可否将前定理推广到二维甚至更多维的情况? 定理2 设 ( X, Y ) 是二维随机变量, 如果 Z = G( X, Y ) 也是同类型随机变量并且数学期望存在, 则有 (1) 当( X, Y ) 是离散型随机变量时 思考: (2) 当( X, Y ) 是连续型随机变量时 例 4.1.4 解 答 例 4.1.5 思考: 三. 随机变量数学期望的性质 1）E( c ) = c 2）E( c X) = cE(X) 4）若X1,X2,…., Xn 相互独立，则 1）.2） 2）E( c X +b) = cE(X)+b 例 4.1.6 例 4.1.7 例 4.1.8 证 明 引例 某手表厂在出厂产品中,抽查了100只 手表的日走时误差: ? 数 学 期 望 日走时误差 – 2 – 1 0 1 2 只 数 13 20 37 15 15 100只手表的平均日走时误差为 数 学 期 望 ( ) ( ) l l = X E P ~ X . 则 1 ? ( ) ( ) np X E p , n B ~ X . = 则 2 数 学 期 望 ? 数 学 期 望 ? ( ) ( ) m s m = X E , N ~ X . 则