概率论与数理统计课件（王志勇）c2-2.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * 离散型随机变量　 * * 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律 称X 是离散型随机变量，并称pi = P{X = xi }，i = 1,2,…为X 的分布律. 定义：如果随机变量X 至多取可列无穷个数值：x1, x2, … , pi = P{X = xi }, 满足 （1） pi ≥ 0 ； （2） ∑ pi = 1. i=1 ∞ 我们常用表格表示分布律： X x1 x2 … xi … P{ X = xi } p1 p2 … pi … 产品检验试验 例如 对于离散型随机变量X ，由概率可加性得 {X ≤ x } = ∪ {X = xi} ，从而有 xi≤x P{X ≤ x } = P[ ∪ {X = xi}] = ∑ P{X = xi} xi≤x xi≤x 所以分布函数 F( x ) = ∑ pi xi≤x 抛 骰 子 离散型随机变量的分布函数为阶梯型函数. 二. 常见的离散型随机变量 E1：抛一枚硬币出现正反面。 E2：检查一件产品是否合格。 E3：射击，观察是否命中。 E4：考一门课，是否通过。 我们称之为贝努里试验。 特点：试验只有两个结果，A和A。 设贝努里试验的两个基本事件 之一为A，P(A)=p 令随机变量 X= 1，若事件A 发生； 0，若事件A 不发生。 { 则X 的分布律为 X 0 1 P{X=xi} 1-p p 称X 服从(0-1)分布 思考: X 的分布函数怎样? 定义 ：将试验E 按下述条件重复进行n次。 （1）每次试验的条件不变； （2）各次试验的结果互不影响。 则称这n次试验为n次重复独立试验。 若试验E 恰好是贝努里试验，则称这n次试验为n重贝努里试验 ，或称贝努里概型。 对于一个贝努里试验 ，我们可以考察如下问题： （1）事件A 首次发生的试验次数； （2）事件A 发生k 次时的试验次数； （3）n次试验中事件A 发生的次数。 在贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p. 1）在贝努里试验中,设事件A 首次发生的试验次数ξ. 则 {ξ=k} 表示首次试验成功在第k次. k=1,2,.., ξ 的分布律为：P{ξ =k}=pqk-1 ; (q=1-p) 称ξ 服从参数为p的几何分布。 几何分布的一个重要性质：无后效性（无记忆性） P{ξ =n+m| ξ n}=P{ξ =m} 2）在贝努里试验中,设事件A发生k 次时的试验次数为Y Y 的分布律为： 称Y 服从负二项分布（帕斯卡分布） 设随机变量X 表示事件A 发生的次数，则X = 0,1，2，…，n. 3）在n次贝努里试验中事件A 发生的次数。 定理：在n重贝努里试验中, 事件A 发生的概率为 P(A) = p, 0 p 1, 则事件A 发生的次数X 的分布律为 证: 在n重贝努里试验中，事件A 在指定的k次试验中出现的概率为 pk ( 1-p )n-k . 在n次试验中，选出k 次试验来有 且各种方式的事件互不相容，由概率的有限 所以结论成立. 我们称随机变量X 服从二项分布，记为X ~ B(n, p).特别地，0-1 分布可以看作X ~B(1, p)。 种不同的方式. 可加性可得 产品抽检试验 例如 强弱对抗试验 设备排障试验 泊松分布 k =0,1, …; l 0。则称随机变量X 服从参数为l 的泊松分布。记为 X ~ P(l ) lk k! 泊松分布的重要性在于: (1)现实中大量随机变量服从泊松分布; (2) 泊松分布可视为二项分布的极限分布. 定义：若随机变量 X 的分布律为P{X=k}= e-l 宇 宙 粒 子 定理：设随机变量序列Xn~ B(n , pn), n = 1, 2,…,即 P{ Xn = k } = C ( pn )k ( 1 – pn )n-k, k = 0,1,…, n k n 若 lim npn = l 0, 则有 n→∞ lim P{ Xn = k } = e-l. n→∞ lk k! 若 lim npn 不存在