概率论与数理统计课件（王志勇）c4-2.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * 方 差　 * * §4.2 随机变量的方差 引 例 定义： 设 X是随机变量, 若E {[X – E(X)]2}存在，称 D(X)= E {[X – E(X)]2} 为X的方差. 称 为X的标准差或均方差. 注：1）D(X)是随机变量X的函数的数学期望. 当X为离散型时 当X为连续型时 2）D(X)?0 常用计算公式：D(X)＝E (X2)-E(X)2 证 明 ( ) ( ) l l = X E P ~ X . 则 1 ( ) ( ) np X E p , n B ~ X . = 则 2 ( ) ( ) m s m = X E , N ~ X . 则 2 3 ( ) l = X D ( ) ( ) p np X D - = 1 ( ) 2 s = X D 证 明 证 明 常见分布的方差 4.两点分布 E(X)=p D(X)=p(1-p) 5.均匀分布 E(X)=(b+a)/2 D(X)=(b-a)2/12 6.指数分布 E(X)=λ-1 D(X)= λ-2 例 4.2.1 例 4.2.3 练 习 例 4.2.2 随机变量方差的性质 设X , X1,X2,….,Xn 是随机变量，c,b 是常数. 1）E( c ) = c , D( c ) =0. 2）E( c X) = cE(X), D( c X) = c2 D(X). 若X1,X2,….,Xn 相互独立，则 若X1,X2,….,Xn 相互独立，则 若Xi相互独立, 则 例 4.2.4 例 4.2.5. 4）D( X ) =0 P{ X =E(X) }=1 随机变量方差的性质 例 4.2.6 方差刻划了随机变量 X 围绕其 数学期望的偏离程度！ 方差是随机变量 X 关于任何值的 偏离程度的最小值！ 方 差 谁的技术水平发挥的更稳定 已知甲乙两名射击运动员的历史记录为： 0 .05 .05 0.1 0.1 0.2 0.5 P(X=xi) 0 5 6 7 8 9 10 X 0 0.1 0.1 .03 .02 .05 0.7 P(Y=yk) 0 5 6 7 8 9 10 Y 甲 乙 E(X)=10*0.5+9*0.2+8*0.1+7*0.1+6*0.05+5*0.05=8.85(环） E(Y)=10*0.7+9*0.05+8*0.02+7*0.03+6*0.1+5*0.1=8.92(环） 甲: 乙: 甲技术水平更稳定. ? 方 差 ? 方 差 ( ) ( ) l l = X E P ~ X . 则 1 ( ) l = X D ? 方 差 ? ( ) ( ) m s m = X E , N ~ X . 则 2 3 ( ) 2 s = X D 方 差 随机变量关于其数学期望的偏离程度（方差）比它关于其它任何值的偏离程度都小。 ? 3 2