概率论与数理统计课件（王志勇）c3-3.pptVIP

* * * * * * * * * * * 条 件 分 布　 * * §3 条件分布 一.条件分布函数 { } B A P 条件概率 ( ) 0 B P 在二维R.V.(X,Y )中,一个R.V.Y 取某个确定值 y0 的条件下,另一个R.V.X 应该有相应的分布.如: 由于不能保证P(Y=y0)0.所以在一般情况下,就不能用条件概率的定义来直接定义条件分布函数. 这时需采用极限的方法来定义条件分布函数. 定义:给定y0 ?R 对任意 ?y 0 有P{y0Y?y0+ ?y}0 且对任意x ?R ,极限 存在,称此极限函数为在 Y=y0 的条件下,R.V.X 的条件分布函数.记作 FX|Y(x |y0 ) 设(X,Y)的联合分布律为: 若P {Y=yj}0 则在事件{Y=yj} 发生的条件下,事件{X=xi} i= 1,2,.. 发生的条件概率为 二.条件分布律 此概率数列具有分布律的性质: 称(*)为在Y =yj 的条件下,R.V.X 的条件分布律. 例3.3.1 例3.3.2 如何判断两个离散型R.V.X,Y 相互独立? ( ) ( ) ( ) y F x F y x F 1 Y X = , ) j i ij P P P 2 . . ) = { } { } j Y i X P i X P 3 = = = = ) { } { } i X j Y P j Y P 4 = = = = ) ( ) ,.. , , 2 1 j i = 三.条件概率密度 设(X,Y)是连续型R.V,且满足f(x,y),fY(y)在(x,y0)附近连续,且fY(y0) 0 则有 证明 我们称 为在Y=y0 的条件下R.V.X 的条件概率密度. 例3.3.3 例3.3.4 如何判断两个连续型R.V.X,Y 相互独立? ( ) ( ) ( ) y F x F y x F 1 Y X = , ) ( ) ( ) ( ) y f x f y x f 2 Y X = , ) ( ) ( ) y x f x f 3 Y X X = ) ( ) ( ) x y f y f 4 X Y Y = ) x,y?R 联合分布 边缘分布 条件分布 联合分布、边缘分布、条件分布之间的关系: 例3.3.1 设随机变量 (X, Y ) 具有如下 联合分布律: X 0 1 Y 1 2 3 4 试求 Y = 2 时, X 的条件分布律。 解: X 的可能取值是 0, 1; 当 Y = 2 时, X 的条件分布, 即是在条件 {Y = 2}下计算X 分别 取 0, 1 的概率. 由条件概率计算公式, 有 于是得到Y = 2 时, X 的条件分布为 P{ X= 0 |Y = 2} = P{ X= 1 |Y = 2} = 不难算出 X 的无条件分布 (边缘分布) 为 P{ X= 0} = P{ X= 1} = ? 例3.3.2 记X为某医院一天出生的婴儿个数,记Y 为男婴的个数设(X,Y )的联合分布律为: 求: 1) 边缘分布律 ; 2) 条件分布律; 3)X=20时Y的条件分布律. 解: ( ) 14 P X ~ k j i = - 令 ( ) 7.14 P Y ~ { } ( ) ( ) ( ) ! ! . . , j i j 86 6 14 7 e j Y i X P j i j 14 - = = = - - ? 思考：随机变量 X与Y是否相互独立? 不相互独立 例3.3.3 设( X,Y)的联合概率密度为: 求: P(Y?1/8 |X=1/4) 分析: 1) 所求值是在X=1/4的条件下,Y的条件分布函数在1/8处的函数值. 2) 初看起来可以用条件概率的定义求解,但这时会出现分母为0 . 3) 利用条件概率密度求解. 先求X的边缘概率密度,再求Y的条件概率密度,最后积分求解. 设( X,Y)的联合概率密度为: 求: P(Y?1/8 |X=1/4) 例3.3.3 解: X的边缘概率密度为: X Y 1 (1,1) O ? 例3.3.4 设( X,Y)的联合概率密度为: 求: 1) 求条件概率密度 解: 1) X Y O 2) P(| Y | 1/3 |X=1/2) P(X 1/3 |Y=-1/2) 当 0x1时,fX(x) 0 当 -1y1时,fY(y) 0 2) P(| Y | 1/3 |X=1/2) P(X 1/3 |Y=-1/2) ? 0 * * *