概率论与数理统计课件（王志勇）c2-1.pptVIP

* * * * 随机变量的分布函数　 * * 第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布 第一节 随机变量的分布函数 一、随机变量 定义：设E的样本空间为W，对于每一个样本点w? W，都有唯一实数X(w)与之对应,且对于任意实数x，事件{ w| X(w) ≤ x }都有确定的概率，则称X(w) 为随机变量，简记为X. 摸彩赌博 随机变量的好处： (1)将样本空间数值化、变量化(但不同于通常变量)， (2)可以完整地描述随机试验, (3)可以借用其它高数工具来解决随机问题. 二、分布函数 从上例中可看到对任一实数x → P{ w| X(w) ≤ x }，这是一个函数. 定义：设X是一个随机变量, x是任意实数,称函数 F( x ) = P{ X ≤ x } = P{ w: X(w) ≤ x } 为随机变量X 的分布函数， F( x ) 也记为FX( x ) . 注:（1）分布函数F( x )的函数值表示事件“随机点X落在(－∞, x ]内”的概率. O x x X （2） F( x )的改变量 DF = F( x +Dx) - F( x ) = P{x X≤ x +Dx } 是事件“随机点X落在(x , x +Dx ]内”概率. O x x x+Dx X 摸彩试验 例如 射击试验 分布函数的性质: （1） F( x ) 为单调不降函数， 即若 x1 ≤ x2 ，则有F( x1 ) ≤ F( x2 ) . （2） 0≤F( x ) ≤1，且limF( x ) = 0 , limF( x ) = 1 . x→-∞ x→+∞ （3） F( x ) 是右连续函数， 即F( x +0 ) = F( x ) . 分布函数的性质可以 用来确定某一函数是否为一个随机变量的分布函数，还可以用来求解分布函数. 分布函数的确定 例如 例1 一个庄家在一个签袋中放有8个白、8个黑的围棋子。规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从 一个袋中摸出五个棋子,按下面“摸子中彩表”给“彩金”。 摸到 五个白 四个白 三个白 其它 彩金 2元 1元 5角 共乐一次 解：用“i ”表示摸出的五个棋子中有 i 个白子，则试验的样本空间为 W = {0，1，2，3，4，5} 用Y (单位:元)表示赌徒摸一次得到的彩金，则有 Y ( i ) = 0，i = 0，1，2 Y ( 3 ) = 0.5， Y ( 4 ) =1，Y ( 5 ) = 2 Y是定义在W上的随机变量，对于每一个 i ，都有一个实数与之对应。 并且 5001 . 0 0128 . 0 1282 . 0 3589 . 0 1 } 2 , 1 , 0 { } 0 { = - - - = = = P Y P 0128 . 0 } 5 { } 2 { 5 16 5 8 = = = = C C P Y P 1282 . 0 } 4 { } 1 { 5 16 4 8 1 8 = = = = C C C P Y P 3589 . 0 } 3 { } 5 . 0 { 5 16 3 8 2 8 = = = = C C C P Y P 对于任意实数x，{Y(w) ≤ x }实际表示一个随机事件，从而有确定的概率。 例如 1 ) ( } 5 { = = ≤ W P Y P 9872 . 0 0128 . 0 1 } 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { } 2 . 1 { = - = = ? P Y P 0 ) ( } 5 . 0 { = = - ≤ P Y P f 总结：从本例中可看到，随机变量Y完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件进行重复讨论。进一步，我们可以把高等数学工具用在对随机试验的分析。 ? 例2.一袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码X 的分布函数。 解：由题意有 3 1 } 3 { , 2 1 } 2 { , 6 1 } 1 { = = = = = - = X P X P X P 当x -1时, F(x) = P{ X≤x } = P(f ) = 0。 x -1 2 3 x X 当-1 ≤ x 2时, F(x) = P{X≤x } = P{X = - 1 } = 1/6 。 x -1 2 3 x X 当2 ≤ x 3时, F(x) = P{ X≤x } = P{X = - 1 } + P{X = 2 } =