概率论与数理统计课件（王志勇）c1-4.pptVIP

* * 事 件 的 独 立 性　 * * 一、两个事件的独立性 在一般情况下, P (A|B) ≠ P ( A ). P (A|B) = P ( A ) （*） 成立.即事件A发生的可能性大小不受事件B的影响,我们称A与B 相互独立. 定义：设A，B是试验E的两个事件，若满足 P (AB) = P ( A ) P ( B ) （**） 称事件A与B 相互独立. 注：当P ( B )0时 公式（*）与（**）是等价的. §4 事件的独立性 但若 定理：若事件A和B相互独立，则下列三对事件 A，B；A，B；A，B 也相互独立. 证明：仅对第三种情形证明。 因为 P (AB) = P ( A ) P ( B ) ) ( ) ( B P A P = )] ( 1 )][ ( 1 [ B P A P - - = ) ( ) ( ) ( ) ( 1 B P A P B P A P + - - = )] ( ) ( ) ( [ 1 AB P B P A P - + - = ) ( 1 ) ( ) ( B A P B A P B A P - = = U U 故 ? , ), | ( ) | ( , 1 ) ( ), ( 0 , , 是否相互独立 请问 且 是两个随机事件 设 B A A B P A B P B P A P B A = 结论：A和B相互独立。 因为 ) ( ) ( ) ( B P A P AB P = = ) ( )] ( ) ( [ )] ( 1 )[ ( A P AB P B P A P AB P - = - = ) ( ) ( ) ( ) ( A P A B P A P AB P = = ) ( A P ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( A B P A P AB P A B P A B P = = = 此结论也可用来判断两个事件的独立性 思考 二、n 个事件的独立性 在多个事件中，是否存在类似的独立性呢？ 掷四面体试验 例如 定义：设A1，A2，…，An为试验E的事件，若对任意的s（1 s ≤ n）及1 ≤ i1 i2 … is ≤ n，有 P(Ai1 Ai2…Ais）= P(Ai1 )P(Ai2) … P(Ais）（*） 成立，则称事件组A1，A2，…，An 相互独立 . 若对一切1 ≤ i1 i2 ≤ n，有 P(Ai1 Ai2）= P(Ai1 )P(Ai2) 成立，则称事件组A1，A2，…，An 两两独立 . 定理：若事件组A1，A2，…，An相互独立，则将A1，A2，…，An中的任意多个事件换成它们的对立事件后，所得到的个事件仍然相互独立. 例 如 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮” “有志者事竟成” 系统的可靠性设计 事件的独立性在实际生活中有着广泛的用途。 2）事件组A1，A2，…，An相互独立 事件组A1，A2，…，An两两独立 注：1）（*）共包含2n-n-1 个等式。 试求A1，A2，…，An至少有一个发生的概率. 其中0 P(Ai)=pi 1， 若（1）A1，A2，…，An 互不相容， 　（2）A1，A2，…，An 相互独立. （1）当A1，A2，…，An 互不相容时,由概率的有限 可加性可得 P = P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An) = p1+p2+ …+pn （2）若A1，A2，…，An相互独立，由加法定理可得 P = P{ A1∪A2∪…∪An } = 1 - P{ A1 A2 … An } = 1 - P{ A1 } P{ A2 } … P{ An } = 1 – ( 1 - p)n 例1 设同时掷两个均匀的四面体一次，每一个四面体的四面分别标有号码1，2，3，4。 令A={甲四面体向下的一面是偶数}， B={乙四面体向下的一面是奇数}， C={两个四面体向下的一面同为奇数或偶数}。 由古典概率定义有 P( A ) = P( B ) = P( C ) = 8/16 = 1/2 P( AB ) = P( AC ) = P( BC ) = 1/4 P( ABC ) = P( f ) = 0