例谈数学高考中的恒成立问题.docVIP

例谈数学高考中的恒成立问题 一、寻求恒成立的结论 运用函数的性质寻求结论 运用函数思想可将有些恒成立问题转化为函数问题，从而可以运用函数性质来解决。 例1、(05北京春季卷理)8、若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 分析：当n为偶数时，得到，而（n为偶数）的最小值为，所以a；而（n为奇数）的最大值不存在但趋近于-2，故。 （二）直接观察图象的特征得到结论 例2、（北京理13）对于函数定义域中任意的，（≠x2），有如下结论：①x1＋xx1)·f(x2)；②x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③；④当时，上述结论中正确结论的序号是③其实是函数的单调性，④则是函数图象的凹凸性，若能根据图象可直观得到单调增从而③能恒成立，而从图象直接反映出是上凸的，故④不成立。 例3、（湖北理6）在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 分析：与例2类似，该恒成立问题的几何背景为函数图象在（0，1）内是上凸的，直接观察图象可得的图象是下凹的，而在（0，1）内是有凹有凸的，故只有才是满足恒成立条件的。 （三）通过猜测寻求结论再给予证明 例4、（湖南理20）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资 源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （III）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论. 分析：前面两小题比较容易得到，（I）， （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得因为x10，所以ab.猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.对于第三小题的开放问题，须先找到最大允许值，然后才能通过证明得到。 若b的值使得xn0，n∈N*。由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*,知0xn3－b, n∈N*, 特别地，有0x13－b. 即0b3－x1. 而x1∈(0, 2)，所以，由此猜测b的最大允许值是1.以下可以用数学归纳法给予证明。 二、探究恒成立的条件 （一）借助图象探究恒成立条件 例6、（辽宁试卷12）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式得到的数列满足，则该 函数的图象是 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 分析：由，，得，即，故选A ． 例7、（浙江理10）已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t－(A)⊥ (B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)－t－t∈R恒成立，则－)⊥(－)是函数的一个极值点，其中。（I）与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围. 分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I) （II）当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）为对恒成立，即3(－1)［－(1+)］3 ∵0，∴(－1)［－(1+)］1(*) 1°=1时，(*)化为01恒成立，∴0 2°≠1时，∵［－1,1］，∴－2≤－10 运用函数思想将(*)式化为(－1)－，令=－1，则［－2,0］，则在区间［－2,0］ 由(*)式恒成立，必有，又0，则 综合1°、2 °得 分析二：（III）中的，即对恒成立， ∵∴即① 运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设，再运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知①式恒成立， ∴解之得又所以 即的取值范围为。 通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。 三、证明恒成立的结论 （一）分析中的等价化简 恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求。 例9（江苏试卷23）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 其中A,B为常数. （Ⅰ）求A与B的值； （Ⅱ）证明数列{an}为等差数列； （Ⅲ）证明不等式对任何正整数m、n都成立. 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，即求出A=-20、B=-8；第二问利用公式，推导得证数列{an}为等差数列.由于an=1+