【创新方案】（浙江专版）2015届高考数学一轮复习 第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用演练知能检测 文.docVIP

第三节　平面向量的数量积及平面向量的应用 [全盘巩固] 1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于(　　) A．2 B．2C．4 D．12 解析：选B　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2. 2．(2014·金华模拟)平面向量a与b的夹角为60°，且a＝(2,0)，|b|＝1，则|a－b|＝(　　) A. B. C．3 D．4 解析：选C　|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos 60°＝4＋1－2×2×1×＝3. 3．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 解析：选C　依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5. 4. 如图，在ABC中，ADAB，＝ ，||＝1，则·＝(　　) A．2 B. C．－ D. 解析：选D　建系如图． 设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)， ＝ ，xC－xB＝－xBxC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝. 5．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是(　　) A．[0,1] B．[－1,1] C．[－，] D．[0，] 解析：选C　由a、b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cos θ[－，]． 6．(2014·福州模拟)已知ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λR，若·＝－，则λ＝(　　) A. B. C. D. 解析：选A　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ) ，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝. 7．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________． 解析：A，B，C为单位圆上三点， ||＝||＝||＝1， 又＋＋＝0， ＝＋， 2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得 cos〈，〉＝－， 向量，的夹角为120°. 答案：120° 8.如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P, 且AP＝3，则·＝________. 解析：设PAC＝θ，则·＝·2＝2|||·cos θ＝2||2＝2×32＝18. 答案：18 9．(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________． 解析：当x＝0时，＝0，当x≠0时，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值． 答案：2 10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角， a·(a＋λb)0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)0. (1＋λ)＋2(2＋λ)0. λ－. 当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma， 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， 解得λ＝0. 即当λ＝0时，a与a＋λb共线， 综上可知，实数λ的取值范围为(0，＋∞)． 11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线长分别为2，4. (2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－. 12．在ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三条边，C且＝. (1)判断ABC的形状； (2)若|＋|＝2，求·的取值范围． 解：(1)由＝及正弦定理有：sin B＝sin 2C，B＝2C或B＋2C＝π. 若B＝2C，且C， πBπ，B＋Cπ(舍)． B＋2C＝π，则A＝C， ABC为等腰三角形． (2)|＋|＝2，a2＋c2＋2ac·cos B＝4， a＝c，cos B＝， 而cos B＝－cos 2C，cos B1，1a2， ·＝2－a2