【创新方案】（浙江专版）2015届高考数学一轮复习 第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用突破热点题型 文.docVIP

第三节　平面向量的数量积及平面向量的应用 考点一 平面向量数量积的概念及运算 　 [例1]　(1)(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　) A. B. C．－ D．－ (2)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． [自主解答]　(1)A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)， ＝(2,1)，＝(5,5)， 因此cos〈，〉＝＝， 向量在方向上的投影为||·cos〈，〉＝×＝. (2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x，2)(0≤x≤)，由·＝x＝x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝. [答案]　(1)A　(2) 在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求·的值及·的最大值． 解： 以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0≤a≤1. ·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1. ·＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值为1.　　　　　 平面向量数量积的类型及求法 (1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________. 解析：a＝(1,1)，b＝(2,5)， 8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又c＝(3，x)， (8a－b)·c＝18＋3x＝30， x＝4. 答案：4 2．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________． 解析：e1，e2的模为1，且其夹角θ＝. a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2) ＝ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e ＝k＋(1－2k)cos－2 ＝2k－. 又a·b＝0，2k－＝0，即k＝. 答案： 考点二平面向量的夹角与模的问题　　　 1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题． 2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)两向量垂直的应用； (3)已知数量积求模； (4)知模求模． [例2]　(1)(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(　　) A.－1 B. C.＋1 D.＋2 (2)(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________． (3)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若ABO＝90°，则实数t的值为________． (4)(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中， AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1, 则AB的长为________． [自主解答]　(1)建立如图所示的直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量， ∴可设＝a＝(1,0)，＝b＝(0,1)，＝c＝(x，y)． c－a－b＝(x－1，y－1)， |c－a－b|＝1， (x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c|＝，|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝＋1. (2)由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2. 又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝－＝－. (3) ＝＋＝(1，－t)＋(2,2)＝(3,2－t)． ABO＝90°，·＝0，即2×3＋2·(2－t)＝0， t＝5. (4)法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1， 即2＋·－2＝1. 因为||＝1，BAD＝60°， 所以||＝，即AB的长为. 法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD＝1，BAD＝60°，可知AM＝，DM＝. 设|AB|＝m(m0)，则B(m,0)，C，D. 因为E是CD的中点，