概率论课件第五章 节 大数定律和中心极限定理.pptVIP

例5.2.2 设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所 较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者 约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4 的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数 尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超 过0.1，问设多少座位为好？ 解：设每天看电影的人编号1,2,3,…,1600, 且令 假设各观众去不去电影院是独立选择的。 则X1, X2 ,…, X1600是独立的0-1分布的随机变量。 设座位数是m，按要求有 P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1 要在此条件下m最大，就是在上式取等号时. 中心极限定理的应用例题补充 一、给定 n 和 x，求概率 补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率. 解：用 由此得： Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 二、给定 n 和概率，求 x 补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产? 解：用 设供电量为x, 则从 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 中解得 三、给定 x 和概率，求 n 补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 解：用 根据题意 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则 从中解得 Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。 又由 可解得 n = 271 补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率. 解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01) ＝0.17635 (2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 X 5.5) = 0.1742 小结 基本概念： 依概率收敛、契比雪夫大数定理、伯努利大数定理、辛钦大数定理、独立同分布的中心极限定理、棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理； 基本概念： 中心极限定理的应用. P98 5.1, P99 5.3、5.4、 5.8、5.9 作 业 * * * * * * * * * * * * * * 第五章 大数定律与中心极限定理 §5.1 大数定律 给出几种大数定律： 切比雪夫弱大数定律、辛钦弱大数定律 科尔莫哥洛夫强大数定律、博雷尔强大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值”（伯努利大数定律）的确切含义. 对大数定律的直观认识 学校有10000个学生，平均身高为a； 若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数据的均值 (X1+X2+…+X10 )/10与a较接近； 若随意观察100个学生的身高X1, X2 ,…, X100 ，则100个数据 的均值(X1+X2+…+X100 )/100与a更接近； 若随意观察n个学生的身高X1, X2 ,…, Xn ，则当n为很大数时， n个数据的均值(X1+X2+…+Xn ) / n （样本均值） 与a（总体平均 值）充分接近. 5.1.1 大数定律问题的提法 常用的几个大数定律 大数定律一般形式： 若随机变量序列{Xn}满足： 则称{Xn} 服从大数定律. 切比雪夫大数定律 证明用到切比雪夫不等式. 切比雪夫弱大数定律的证明 辛钦弱大数定律 定理5.1.2 若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在，则 {Xn}服从大数定律. 伯努利大数定律 推论5.1.1（伯努利大数定律（频率收敛于概率）） 设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 ? 0，有 意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。 不能说： ，因为不管n有多大，仍可能有 pn 偏离p 的情形出现(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。 注 意 点 (1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例. (2) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例. (3)