概率论课件第四章 节 随机变量数字特征.ppt

第四章 随机变量数字特征;§4.1 一维随机变量的数字特征;离散型随机变量函数的数学期望; 例１ 甲、乙两射手的稳定成绩分别为; 解 甲的平均环数; 例３ 若X服从泊松分布P(λ)，试求EX。;几何分布的期望;例5 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现i次（i=1，2，3），则下注者赢i元，否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利? ;ξ的分布列为; 由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的。; 例6 设ξ的分布律为;2.连续型随机变量的数学期望; 例7 设ξ服从均匀分布，其分布密度为;若ξ服从N(a,σ2) ，求Eξ。;例9 设ξ服从参数为λ＞０的指数分布，其分布密度为;设ξ服从柯西分布，即有密度函数 证明ξ不存在数学期望。;连续型随机变量函数的数学期望; 例11 若ξ服从[0，2π] 上均匀分布，求E(sinξ) 。;数学期望的性质;(3); 注：这些性质可以推广到多个随机变量上。; 例13 在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设ξi 表示第i次试验成功的次数，则ξi有分布律;此外，我们可以推导出 η~B(n,p);超几何分布的期望;ξ表示n次抽样抽出的废品数，服从超几何分布。;并称 为X的标准差或均方差。;由数学期望的性质，可导出计算方差的另一个公式：;1、对于离散型随机变量X，若有分布律p(xi)，则;例1 ξ~B(n,p) ，求Dξ和 。; 于是;例2 设ξ～P(λ)，试求Dξ。;几何分布的方差;例4 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。 ; 设随机变量ξ服从[a，b]上的均匀分布，求Dξ。 ;例6; 设随机变量ξ服从参数为λ的指数分布，求Dξ。;分布名称;方差的性质;（3）;（4）;性质4可以推广到如下情形。;（5）;在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设ξi 表示第i次试验成功的次数，则ξi服从参数为p的（0－1）分布。求ξ1+ξ2 + …+ξn 的方差。;4.1.3 随机变量的矩;显然： EX是一阶原点矩 Var[X]是2阶中心矩。;偏度系数;峰度系数;ξ∽N(0,σ2)，求Eξk。;二维随机向量函数的数学期望;特别有; 设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为 ,如果 ;特别有;例12;二维随机变量(X, Y)，其协方差定义为;;;定理1;相关系数;相关系数的性质;; 设 (ξ,η)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，r的二维正态分布，证明ξ、η的相关系数为r。 由ξ、η独立的充要条件是r=0 得： 独立性与不相关性是等价的。;证明;若(X, Y)是二维随机变量，则 （1）E(XY)= EX · EY+Cov(X, Y) （2）Var[X+Y]= Var[X]+ Var[Y]+2Cov(X,Y);例2;解：;补充：; 已知ξ1 ,ξ2相互独立，均服从正态分布N(0,σ2),η1＝aξ1＋bξ2，η2＝aξ1－bξ2，其中a，b是常数。 （1）求η1，η2的相关系数; （2）问η1，η2是否相关，是否独立; （3）当η1，η2独立时，求(η1，η2)的联合密度函数。 ;解：;（2）因为η1，η2都是正态分布随机变量，所以不相关与独立是等价的。 故 当|a|=|b|时，r=0，η1,η2相互独立， 当|a|≠|b|时，r≠0，η1,η2是不独立的。;(3)当η1，η2相互独立时，即a 2 =b 2 时， η 1 ～N（0，2a2σ2 ），即 ;4.2.3 条件数学期望;连续型随机变量的条件数学期望;条件期望的性质;(4);例1;解：;结 果; 设去第i个公司应聘的收益为ξi，(i=1,2,3）。当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，因为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试中会获得职位，因而这个结果（落聘）是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征:在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。; 首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为 E(ξ3)=2.5×0.4+3×0.3+4×0.2+0×0.1=2.7(万元) ; 若提供极好的职位，肯定接受。 若没有职位肯定去进行第三次面试。 若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作(期望值2.5万元）和不接受而去碰第三