概率论课件第六章 节 数理统计的基本概念1.pptVIP

从本章起，我们转入课程的第二部分——数理统计学。数理统计学与概率论是两个密切联系的姊妹学科。 大体上可以这样说，概率论是数理统计学的基础，而数理统计学是概率论的重要应用。;数理统计是一门什么样的学科？; §6.1 总体、样本和统计量 §6.2 经验分布函数 §6.3 抽样分布 ;§6.1 总体、样本和统计量; 为方便起见，今后我们把总体与随机变量X等同起来看，即总体就是某随机变量X可能取值的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究. ; 从总体X中抽取一个个体,就是对随机变量X进行一次试验.抽取n个个体就是对随机变量X进行n次试验,分别记为X1, X2, …, Xn.则样本就是n维随机变量(X1,X2,…,Xn).在一次抽样以后, (X1, X2, …,Xn)就有了一组确定的值(x1, x2, … ,xn),称为样本观测值.样本观测值(x1, x2, … ,xn)可以看成一个随机试验的一个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空间. 称(X1, X2, …,Xn)为样本，n为样本容量.;总体 ;6.1.2 统计量;【例】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～N(?，? 2)，其中? 、? 2为未知参数，则 X1， min{ X1，X2，…，Xn } 均为统计量，但诸如 等均不是统计量，因它含有未知参数? 或?．;§6.2 经验分布函数;§6.3 抽样分布;6.3.1 样本均值和样本方差的数字特征;6.3.2 三种重要的概率分布;?2分布概率密度 图6.1 ?2(n)分布的概率密度曲线 可以看出，随着n的增大图形趋于“平缓”，其图形下区域的 重心亦逐渐往右下移动．;;由于Xi独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为3，可得 (3)根据中心极限定理 当n较大时， 近似服从 ; 关于?2分布以及后面将要讲到的t分布、F分布，要求做到以下两点： （1）从正向理解三种分布的定义，即三种分布是由哪些分布衍生出来的，什么样的随机变量服从上述三种分布； （2）从逆向理解三种分布的定义，即如果某随机变量服从上述三种分布之一种，则该随机变???可以写成什么样的表达式（哪种随机变量的衍生式）. 至于服从上述三种分布的随机变量的密度函数形式不要求记忆。;2. t分布 命题6.3.3 设X ～ N(0，1)，Y ～ ?2(n)，X与Y独立，则称随机变 量 服从自由度为n的t分布，又称为学生分布 (Student distribution)， 记为T ～ t(n)． 可以证明t(n)的概率密度为 图6-2 t分布的概率密度曲线; 图6.2 t分布的概率密度曲线 显然t分布的概率密度是x的偶函数，图6.2 描绘了 n = 1，3，7时t(n)的概率密度曲线．作为比较，还描绘了 N(0，1)的概率密度曲线． ;可看出，随着n的增大，t(n)的概率密度曲线与N(0，1)的概率密 度曲线越来越接近． 可以证明t分布具有下面性质： 即当n趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布N(0,1)． 一般地，若 n 30，就可认为t(n)基本与N(0，1)相差无几了．另外，经简 单积分可知，若