专题--立体几何中的常见模型(续)和动点问题.docVIP

专题补充之--立体几何中的常见模型和动点问题 【学习目标】 1.继续上节课的常见模型； 2.掌握立体几何中的动点问题的基本处理方法 【学习重点】动点问题的几种类型 【学习过程】 一、接上节课（立体几何中的常见模型）：四．首尾连接的异面直线模型 例11.若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当时,线段AB的长为 . 例12. 已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，则CD的长为________．中，、分别是棱、的中点，连结、，如图所示，求异面直线、所成角的余弦值． 七．四个面都是直角三角形的模型 例14.如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上不同于的一动点。 求证：平面平面； 若，过作于，于，求截面三角形面积的最大值，以及此时点的位置（用的长表示）。 在第（2）问的条件下，求二面角的大小。 （4）在第（2）问的条件下求其外接球的体积。 八．三个面两两垂直的模型 例15.已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为 ▲ cm2．（注 ，其中r为球半径） 九．三垂线模型 例16.看下面正方体中的两个问题。 十．从一点引射线，三线模型，看下面几个问题 先复习三余弦公式__________________. 例17.看下面一个问题：自己画图。 二、立体几何中的动点问题 求动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。04年高考北京、天津、重庆都各有一个选择题考查了动点轨迹问题。 例1（天津8）如图，定点A和B都在平面内，定点，， C是内异于A和B的动点，且。那么，动点C在平面内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 解析：由三垂线定理的逆定理得 ∵AC⊥PC且PC在内的射影为BC， ∴AC⊥BC.∴∠ACB=900. ∴C点的轨迹为以AB为直径圆，但除去A、B两点. 动点与某点（面）的距离问题 例2．正方体中，棱长为a，E是的中点， 在对角面上找一动点M，使AM+ME最小. 解析： 设AC∩BD=O，则AO=CO． ∴平面是线段AC的垂直平分面， ∴C是A关于平面的对称点。连CE交面于M ， 则M 就是要求的点，这时AM+ME 最小。又AM=CM, ∴AM+ME的最小值就是CE 的长，而=, 此时AM+ME的最小值为． 简评：本题先证明平面是线段AC的垂直平分面，然后利用C是A关于平面的对称点，所以AM=CM, AM+ME的最小值，即为CM+ME的最小值，即CE的长，所以M点为CE和平面的交点。 直线与平面（或直线）垂直问题 例3．（湖北理20）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为 矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离. 解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、 B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1）， 从而设的夹角为θ，则 ∴AC与PB所成角的余弦值为. （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内， 故可设N点坐标为（x，O，z），则 ，由NE⊥面PAC 可得， ∴ 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，. 简评：本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），然后利用NE⊥面PAC，有求得动点N的坐标为. 直线与平面（或直线）平行问题 例4.如图，已知在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=600， PA=AC=a， PB=PD=a点E在PD上，且PE：ED=2：1.在棱PC上有一动点F，当动点F移动到何处时，使BF∥平面AEC？证明你的结论。 解析：由题意知PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过点A垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系。则A（0，0，0）、B（a，-a，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、P（0，0，a）、E（0，a，a），所以=（0，a，a），=（a，a，-a），=（-a，a，a），=（a，a，0）