Ch2.2 一般迭代法.pptVIP

1 本节内容提要 一般迭代法的基本概念 迭代法的几何意义 迭代法的收敛条件 迭代法的收敛速度 Aitken加速法　　　　　　 一般迭代法的基本概念 1、迭代法 2、迭代序列的收敛性 3、收敛速度 （用收敛阶数来刻划敛速） 迭代函数的构造； 收敛性、敛速； 误差估计。 1、大范围收敛 2 §2.2 一般迭代法 7 反复校正这个初始值，直到满足预先给定的精度要求为止； 这类迭代法称为简单迭代法，或称不动点迭代法、Picard迭代。 大范围收敛 —— 局部收敛 —— （与初始值有关） 例： 解： 思考： 问题：如何构造迭代函数，可以保证迭代既 收敛，敛速还快？误差如何估计？ 一个好的迭代法需要考虑： 迭代法的几何意义 收敛的情形 收敛的情形 发散的情形 迭代法的收敛条件 Th1：（压缩映象原理） ---- Lipschitz条件 ---- 误差事先估计 ---- 误差事后估计 ---- 渐进误差估计 注：定理1中的Lipschitz条件由于难以验证，常用条件： 事实上，若 来替代； 证明：①存在性： 唯一性： ② ③ ④ ⑤ Th2： 证明： 例： 解： 2、局部收敛 Th3： 证明： 注: 例： 解： 迭代法的收敛速度 Th4： 注: 证明： 例： 证明： Aitken加速法 迭代的收敛速度往往与迭代函数有关，有时为了提高收敛速度考虑在已有迭代函数的基础上构造一个新的迭代函数，以达到快速求解的目的，这种方法称为加速法；典型的加速法有Aitken加速法。 可以证明， Aitken加速法所得新的迭代函数仍以 为不动点，且收敛速度比原迭代快，一般有： 线性收敛 二阶收敛； 阶收敛 阶收敛。