8-04-不定积分的一般问题=简化版.pptVIP

不定积分的计算 —— 一般问题 一、特殊被积函数的分类 二、不定积分的解题对策 2、三角函数有理式的积分 3、简单无理式函数的积分 * 一、特殊被积函数的分类 二、不定积分的解题对策 2、三角函数有理式的积分 3、简单无理式函数的积分 我们需要根据被积函数的不同类型，分别采取相应的积分方法。 1、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 1、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和. 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例如 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例如 例如 例1 求积分 解 例2 求积分 解 结论：有理函数的原函数都是初等函数。 三角函数有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 (万能置换公式) 例3 求积分 解 例4 求积分 解 (一) 解(二) 改变策略, 解(三)可以不用万能置换公式. 解 　 (四) 再作变化, 结论 1. 比较以上几种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. 2. 在三角函数有理式中如果 sinx、cosx 的幂次较高，那通常就不用万能置换了，否则就太繁了. 例5 求积分 解 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例6 求积分 解 令 例7 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例 8 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 总的说来,不定积分没有什么一成不变、普遍适用的方法,我们一定要在熟悉了第一批不定积分的基本公式以后,掌握并能灵活运用换元积分法：凑微分法、变量代换法和分部积分法。 不定积分的计算中最重要的是要有变化的意识,只有不断变化以适应面对的新问题,因地制宜、因时制宜,才可能解决问题。 4. 不定积分的解题对策概说 说明 初等函数在其定义区间内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。因此，有许多不定积分问题我们习惯上称之为“积不出来的”。 关于积分表的说明 常用积分公式汇集成的表称为积分表。求积分时,可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后,查得所需结果。 可是,积分表对我们而言是没有什么实际使用价值的。当然，现在已经有了Mathematica,Maple 等这样一些软件，可以进行符号运算,用之计算不定积分,只需输入被积函数,立马就输出结果。 例9 求 ① ② 例10 求 先进行变量代换 令 被积函数中含有 例11 求 课堂练习题 课堂练习题答案