8-3三重直角_6026_1628_20120321075822.pptVIP

三、小结 作业 习题8-3 (102页) 1(1)(3). 3(1)(3). 4(1). 练 习 题 练习题答案 * * 三重积分的概念 三重积分的计算 小结 8.3　三 重 积 分(1) 一、三重积分的概念 （1）分割 （2）近似代替 （3）求和 （4）取极限 1.引例： 是空间有界闭区域Ω上的 如当各小闭区域直径中的最大值 在每个 2. 三重积分的定义 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域 其中 并作和 作乘积 ① ② ③ ④ 有界函数. 也表示它的体积. 表示第i个小闭区域, 上任取一点 记为 函数 趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为 在闭区域Ω上的三重积分. 　 即 体积元素 4. 三重积分的几何意义 设被积函数 连续函数一定可积 3. 三重积分存在性 则区域V 的体积为 在Ω上是可积的. 的三重积分存在性时, (existence) 5. 三重积分的性质 与二重积分的性质类似. 补充三重积分 对称性质 则称f关于变量z的奇 函数. (1) 关于 坐标面的上半部区域. (偶) (property) 或 而得结果为零. 例 0 则 C 则( )成立. , 0 , 0 , 0 , 2 2 2 2 2 3 3 3 ￡ + + z y x R z y x ： W , 0 , 2 2 2 2 1 3 ￡ + + z R z y x ： 设空间区域 W 选择题 二、三重积分的计算 1. 在直角坐标系下计算三重积分 故直角坐标系下的体积元素为 在直角坐标系下三重积分可表为 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的 平面的来划分 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 投影法 思想是 (先一后二法) 如图, 闭区域 面上的投影为闭区域D, 过点 作直线, X－型 再计算 的函数, 得 则 如何写出当D为Y–型闭域时, 注 化为三次积分的公式 三重积分 相交不多两点情形. ò ) ( ) ( 2 1 d x y x y y 所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分). 和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算. 解题时, 要依据具体的被积函数 同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影. 解 化三重积分 为三次积分, 例 所围成的闭区域. 其中积分区域为由曲面 得交线投影区域 解 如图， 解 解 原式 说明: 若被积函数为f(z),且Dz为规则区域(其面积 有公式计算),则可采用先二(x,y)后一(z)积分顺序来积分. 解 如图, 将 W 投影到 zox 平面得 : xz D 1 2 2 ￡ + z x , 先对 y 积分， 再求 xz D 上二重积分 , ò òò - - - - = 1 1 2 2 2 1 z x D dy dxdz x xz 原式 y 三重积分的轮换对称性: 1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x积分域?不变,则 2.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x积分域?不变,则 例 其中?为球面x2+y2+z2=1所围成的区域. 例 计算三重积分 其中?：0?x ? 1，0?y?1，0?z?1 解 错解 解 正确做法 分析 积分区域和被积函数都具有轮换对称性 x z y o x y o 1 . . . . 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 （计算时将三重积分化为三次积分） 思考题 选择题: * * * *