9-02 牛顿-莱布尼兹公式.pptVIP

§2 牛顿—莱布尼茨公式 一、问题的提出 二、牛顿—莱布尼茨公式 三#、函数的一致连续性 * 二、牛顿—莱布尼茨公式- 三# 、函数的一致连续性- 一、问题的提出- 下面我们通过对：变速直线运动的路程的计算问题引入 通过前面的例子可以看到，直接由定义计算定积分——求 Riemann 和的极限，一般是很困难的。 牛顿—莱布尼茨公式 变速直线运动中位置函数 与速度(速率)函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 并且我们看到，如果将时间段[T1 ,T2]任意做一个分割， 那么，现在的问题是：如果剔除问题的物理意义，上述结论是否仍然成立？也就是说，一般而言，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续， F(x)= f(x) ,即F(x) 是 f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，是否必定有下述结论成立？ 定理9.1 证明 牛顿—莱布尼茨公式 牛顿—莱布尼茨公式表明： 注 意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 牛顿—莱布尼茨公式 定理 9.1 说明了闭区间上的连续函数是Riemann可积的。 例1 求 原式 解 解 面积 大傻题， 例3 计算 不过，经过演算， 可是我们发现， 解 细究其原因，我们会发现，函数 例 4 根据命题： 我们将上述极限看作是某一函数在一个区间上的积分和。 例5 求极限 解 1. 使用夹逼性 2. 使用定积分的定义 问题 2 的极限值比问题 1 的极限小一些，与我们的感觉相吻合。 例6 可是倘若用此原函数，结果就发现了问题。 被积函数大于零， 积分值必定大于零！ 原因与例4相同，但这个积分怎么计算呢？到底如何处理这一问题，且待以后分解！ 下面介绍函数的一致连续性。 前面我们介绍的函数的连续、可微是函数的一种局部性质，即所谓“点态性质” 。而函数在一闭区间上的有界性、最值存在性就是一种整体性质。 例7 容易证明,函数f (x)=ax+b, f (x)=x2 在 命题1 设函数 f(x) 在区间I上满足利普希兹(Lipschitz) 条件，即存在常数 L0, 使得对 I上任意两点 则函数 f(x) 在区间I上一致连续。 例 8 命题2 设函数 f(x) 在区间 上点态连续，而且 存在，则函数 f(x) 在区间 上一致连续。 这是前面的例8的结论的一般化。 再次强调 * *