9-03-函数的可积性问题(I).pptVIP

导数与微分 §3 函数的可积性问题(I) 2、可积的充要条件 3.可积的充分条件 * 牛顿—莱布尼茨公式的证明过程显示了：闭区间上的连续函数是Riemann可积的。 那么，一般而言，闭区间上的函数需满足怎样的条件，使其是Riemann可积的呢？ 函数的可积性问题是一个复杂的问题。 定理9.2 证明 用反证法。若f在[a,b] 上无界，则对于[a,b]上的任意一个分割T ，必定存在属于T 的某个小区间Δk ， f 在Δk 上无界。在i≠k 的 各个小区间Δi上任意取ξi ，并记 现在对于任意大的正数M，由于f 在Δk 上无界，故存在ξk?Δk ，使得 1、可积的必要条件 由此可见，对于无论多么小的 ，按上述方法选取点集 时，总能使得积分和的绝对值大于任意给定的M0,而这与 f 在[a,b] 上可积矛盾。 于是有 定理9.2 证明2 我们也可从正面来证明：可积 有界。 因为 f 在[a,b] 上可积，记f 在[a,b] 上的积分为I ， 则对于? =1, 必定存在[a,b] 的一个分割T ，使得 这样，我们可以证明 f 在Δ1= [x0 , x1]上是有界的，同样，可以证明 f 在Δi= [xi-1 , xi]上都是有界的，所以 f 在[a,b]上是有界的。 在[a,b] 上f 有界是可积的必要条件,即有界未必可积。 例 1 在[0,1] 上 Dirichlet 函数 有界但不可积。 定理 9.3 定理 9.3? 定理 9.4 定理 9.5 定理 9.6 证 明 注1 单调函数如果有间断点，则其间断点必定为第一类间断点。（P73/Ex6） 注2 单调函数可以有至多可列多个间断点，但其仍然是Riemann可积的。 例2 设 , 求 . 解 根据定理可知，该函数的定积分是存在的。并且可以利用积分的区间可加性得到： 休息，休息一会！ * *