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自动控制原理 §2 控制系统的数学模型 §2 控制系统的数学模型 §2.1 微分方程 §2.1 微分方程 §2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程 §2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程 例4 X-Y 记录仪 §2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程 §2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1） §2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例2） 建立微分方程的步骤 线性定常微分方程求解 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 §2.2 Laplace 变换基础 课程小结 (1) 控制系统的数学模型 课程小结 (2) 课程小结 (3) 自动控制原理 自动控制原理 郑州大学西亚斯国际学院 樊永良 第二章 控制系统的数学模型（第 3 讲） §2.1 控制系统的时域数学模型 §2.2 Laplace 变换基础 §2.3 传递函数 §2.4 典型环节及传递函数 §2.5 动态结构图 §2.6 动态结构图的等效变换 §2.7 信号流图和梅逊公式 §2.8 自动控制系统的传递函数 数学模型: 描述系统输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表 达式。 时域模型：微分方程 复域模型：传递函数 建模方法： 解析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性 线性定常系统微分方程的一般形式 §2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程 例1 R-L-C 串连电路 例2 弹簧—阻尼器系统 电磁力矩： — 安培定律 电枢反电势： — 楞次定律 电枢回路： — 克希霍夫 力矩平衡： — 牛顿定律 电机时间常数 电机传递系数 消去中间变量 i, Mm , Eb 可得： 例3 电枢控制式直流电动机 反馈口： 放大器： 电动机： 减速器： 绳 轮： 电 桥： 消去中间变量可得： 例4 X-Y 记录仪 取一次近似，且令 既有 例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。 解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数 解. 在 处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得 在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程 式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量 变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。 (1) 确定输入量和输出量； (2) 将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量与输出量，根据各环节的物理规律写出相应的微分方程； (3) 消去中间变量，就可以求得系统的微分方程； (4) 如果得到系统微分方程是非线性的，则在工作点附近利用泰勒级数一次近似式将其线性化； 微分方程求解方法 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 复函数 例1 （2）模、相角 （3）复数的共轭 （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。 模 相角 2 拉氏变换的定义 （1）阶跃函数 像函数 原函数 3 常见函数的拉氏变换 （2）指数函数 （3）正弦函数 （1）线性性质 4 拉氏变换的几个重要定理 （2）微分定理 证明： 0初条件下有： 例2 求 解. 例3 求 解. （