3-1 初等矩阵（2）.pptVIP

一、初等矩阵的概念 三、小结 第一节 初等矩阵 一、初等矩阵的概念 二、初等矩阵的应用 三、小结 矩阵的初等变换与线性方程组 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本的运算，为探讨它的应用，我们研究它的一个最基本的性质． 定理1 设A与B为 矩阵，那么： （1） 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P ， 使 （2） 的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q， 使 （3） 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P 及n阶可逆矩阵Q，使 为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识． 定义2 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 初等矩阵的作用 性质1 设 是一个 矩阵， 对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵； 对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. m 用3阶初等矩阵 左乘矩阵 ，得 举例证明 左乘 相当于交换了A的2,3两行. 用4阶初等矩阵 右乘矩阵 ，得 右乘 相当于交换了A的2,3两列. 用3阶初等矩阵 左乘矩阵 ，得 左乘 相当于将A的第3行乘5加到第2行上。 用4阶初等矩阵 右乘矩阵 ，得 右乘 相当于将A的第2列乘5加到第3列上。 因此， 对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵. 二、初等矩阵的应用 定理：初等矩阵都是可逆的，且 设A的标准形是F， 性质2 方阵A为可逆方阵充分必要条件是存在有限个初等方阵 证 先证充分性. 有限个可逆矩阵的乘积仍可逆， 故A可逆. 设 因初等矩阵可逆， 再证必要性. 因A可逆， 则F可逆， 那么F = E， 下面应用初等矩阵的知识来证明定理1． 定理1的证明： （1）依据 的定义和初等矩阵的性质，有 A经有限次初等行变换变成B 存在有限个m阶初等矩阵 ， 使 存在m阶可逆矩阵P ，使 类似可证明（2）（3） 推论 矩阵A可逆的充分必要条件是 证 由于矩阵A可逆的充分必要条件是存在有限个 初等矩阵 即 上式表示A经过有限次初等行变换可变为E, 于是 利用初等变换求逆阵的方法： 解 例2 故A可逆， 且