计算方法总结第1章绪论.pptVIP

什么是算法和计算量 算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法——框图（流程图） 计算量：一个算法所需的乘除运算总次数 ——衡量一个算法好坏的重要标准 计算方法的特点 1、近似： 由此产生“误差” 在计算数学和应用数学中一个有趣的问题：什么是零？ 2、与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言，或用Matlab） 第1章 绪论 §1 误差 §2 数的表示及运算 §3 算术运算结果的误差 §4 算法的数值稳定性 例： 给定g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似值。 解 ：甲的做法: ? g(x)=107(1-cosx) 乙的做法:由于 ? g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2(x/2) ? 查表 cos2°≈0.9994, sin1 °≈0.0175, 例： 给定g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似值。 解 ：甲的做法: g(2°)=107(1-cos2°) ≈ 107(1-0.9994) =6000 乙的做法: g(2°)=2×107sin21°≈2×107(0.0175)2 ≈6125 下面我们来分析甲、乙算题时各自的相对误差:记 t1=(1-A)107,其中A=cosx, t2=2×107B2,其中B=sin(x/2), 三角函数表给出了四位数字,它准确到小数后第三位,而第四位是经过“四舍五入”得到的,即有 三、有效数字 定义将近似数x*写成 x * =±10m+1(α1×10-1+α2×10-2+α3×10-3+…+αn×10-n) 若其绝对误差限满足 则称近似数x*具有n位有效数字。 这里m为整数,α1 ，α2，…，αn是0到9中的一个数字 且α1≠0。 例：求3.14，3.1416作为∏的近似数有几个有效数字？ 定理1 若已知某近似数有n位有效数字,则可得到近似数的绝对误差限为 定理2 若近似数x具有n位有效数字,则其相对误差为 其中α1≠0是x*的第一位有效数字。 定理3 若其相对误差满足 则x*至少有n位有效数字。 例如,设 §4 算法的数值稳定性 例： 给定g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似值。 解 ：甲的做法:由于 cos2°≈0.9994, ?故g(2°)=107(1-cos2°) ≈ 107(1-0.9994) =6000 乙的做法:由于 ? g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2x 查表sin1≈0.0175, 故g(2°)=2×107sin21°≈2×107(0.0175)2 ≈6125  一、避免两个很相近的数相减 例如： 二、控制舍入误差的高速增长 三、防止大数“吃”小数 四、减少运算次数，避免误差积累 见书P20 多项式求和 五、避免绝对值小的数做除数 1、影响精度 2、“溢出”错误 例如,在计算机程序中,下面两个语句在语法上均是正确的。 (1) If A=0 Then Goto B Else Goto C (2) If｜A｜≤10-12 Then Goto Belse Goto C 4.2 改善算法的例子 例1 对于充分大的x计算 由于当x很大时, 与 很接近,直接计算会造成有效数字的严重损失,可将原式化为一个等价的公式来计算,也即 例2 当x接近于0时 解： 例3 对于小的正数ε, 可化为 　　　第1章 绪论 计算方法 原点附近 第一章 误差 ( Error )