Chapter4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法.pptVIP

第四章第3节 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 第四章 高阶微分方程 第3节 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 4.3.1 可降阶的方程类型 n阶微分方程的一般式F(t, x, x?,…, x(n) )=0 (1) 方程不显含未知函数 x,或理一般地不显含x, x?,…, x(k?1),方程形式为 F(t, x(k), x(k+1),…, x(n) )=0 (1 ? k ? n ) 记 x(k)=y,则方程可降为关于 y 的 n?k 阶方程 F(t, y, y?,…, y(n?k) )=0 若能求出上述方程的通解 x(k)=y=?( t, c1, c2, …, cn?k ),则再经过 k 次积分可得到原方程的通解 x=?( t, c1, c2, …, cn ) 例1 求方程 的解. (2)不显含自变量 t 的方程 F(x, x?,…, x(n) )=0,若令x?=y,视 y 为新未知函数, x为新自变量,则方程可降一阶. 例2 求解方程xx?+(x?)2=0. 例3 求数学摆的运动方程 ,满足初值条件:当 t=0时,?=?0 0, ??(0)=0. (3)齐次线性微分方程 设 x1, x2, …, xk 是方程(4.2)的 k 个线性无关解,令x=xky,则有 ……… 将它们代入原方程可得 若令 z=y?, 并用 xk 除方程各项,可得 n?1 阶齐次线性微分方程: z(n?1)+b1(t)z(n?2)+…+bn?1(t)z=0(4.67) 方程(4.67)与(4.2)的解之间的关系 由上述变换知 因此可知方程(4.67)的k?1个线性无关解 结论: 利用 k 个线性无关的特解当中的一个解 xk,可以把方程(4.2)降低一阶,若利用两个线性无关解xk?1, xk,则可把方程(4.2)降低两阶,以此类推,若利用方程的 k 个线性无关解,则可将方程(4.2)降低 k 阶.特别地,对于二阶齐次线性微分方程,如果知道它的一个非零解,则方程即可容易求解了. 例4 已知 是方程 的解,试求方程的通解. 4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 用幂级数来表示微分方程的解 例5 求方程y??xy=0的通解. 设 由各项系数为零，得递推公式 从而有： 可知： 例6 求方程y??2xy??4y=0的满足初值条件y(0)=0及y?(0)=1的解. 设 由y(0)=0推得a0=0, y?(0)=1推得a1=1,即可设 有递推公式： 由此可得： 综上可得： 从而 考虑二阶齐次线性微分方程 及初值条件 y(0)=y0及 y?(0)=y?(0)的情况. 定理10 二阶齐次线性微分方程中系数 p(x) 和 q(x)都能展成 x 的幂级数,且收敛区间为 | x | R,则方程(4.72)有特解形如 且收敛区间也为 | x | R. 贝塞尔方程 定理11 若方程(4.72)中系数 p(x) 和 q(x) 具有如下性质: xp(x)和 x2q(x) 均能展成 x 的幂级数,且收敛区间也为 | x | R,则方程(4.72)有特解形如 其中 ? 为待定常数. 例7 求解 n 阶贝塞尔方程 设 由各项系数为0可得： 由第1项 a0?0 可得 ? = ?n . ? = n 时，有递推公式 同理，? = ?n 时，可得 所以方程通解可表示为 * * … … * * *