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第七章 参数估计 一、矩估计法 例1　设总体 例2　设总体X 的概率密度为 例3　设总体 例4 设 例5　设总体 ⑴ X 为离散型 例1 ⑵ X 为连续型 例2 例3 例4 例5 例6 无偏 所以θ的最大似然估计值为 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本, ，求参数 的最大似然估计值。 解 令 所以 的最大似然估计值为 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本, 求 ⑴ 参数 θ和μ的矩估计量； ⑵ 参数 θ和μ的最大似然估计量。 解 ⑴ 令 所以 解得参数θ和μ的矩估计量为 ⑵ 设x1, x2, …, xn是X1, X2, …, Xn的样本值，则 似然函数为 其中 当 时 令 第二个似然方程求不出θ的估计值，观察 ，表明L是μ的严格递增函数，又 ，故 所以当 时L 取到最大值 从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为 则参数θ和μ的最大似然估计量分别为 §7.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性 §7.2 若 则称 是? 的无偏估计量. 无偏性 定义 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等. 定义的合理性 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 是 的无偏估计量. 证 例1 设总体X 的 k 阶矩 存在 因而 由于 例1 则 特别地 样本二阶原点矩 是总体 是总体期望 E( X ) 的 样本均值 无偏估计量 的无偏 二阶原点矩 估计量 * 参数估 计问题 假设检 验问题 点 估 计 区间估 计 统计 推断 DE 基本 问题 7-2 什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计. 例如，X ~N (? ,? 2), 点估计 区间估计 若?, ? 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容. 参数估计的类型 点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值. 二 、估计量的评选标准 一 、点估计 三 、区间估计 四 、正态总体均值与方差的区间估计 §7.1 点估计方法 点估计的思想方法 设总体X 的分布函数的形式已知, 但含有一个或多个未知参数：?1,?2, ?,?k 设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量： 随机变量 7-5 §7.1 当测得样本值(x1, x2,…, xn)时,代入上述 统计量，即可得到 k 个数： 数 值 称数 为未知参数 的估计值 如何构造统计量？ 如何评价估计量的好坏？ 7-6 对应统计量 为未知参数 的估计量 问 题 对未知参数估计的两种方法: 矩估计法、最 基本思想是用样本矩估计总体矩。 英国统计学家K.皮尔逊最早 提出的。 大似然估计法。 命题：若总体X 的 k 阶矩 存在，则 证明 因为样本 相互独立且与总 体X 服从相同的分布。则 也相互 独立且与 服从相同的分布。 由辛钦定理 即 基本思想：令 ⑴　若X为连续型随机变量，设概率密度为 令 ，其中 为样本， 为样本值， 解出 为X的一个样 本，求 的矩估计量。 解 令 其中 所以λ的矩估计量为 解 即 是未知参数, 其中 X1,X2,…,Xn是取自X 的样本,求参数α的矩估计量. 令 ，则 从而α的矩估计量 为X 的一个样本，求 的矩估计量。 解 令 为X 的一个样本，求X 的数 的矩估计量。 学期望 解 令 其中 则 解得数学期望 的矩估计量分别为 ⑵　若X为离散型随机变量，设其分布律为 令 ，其中 为样本， 为样本值， 解出 为X 的一个样 本值，求 的矩估计值。 解 令 其中 所以λ的矩估计值为 二、 极大似然估计法 思想方法：一次试验就出现的事件 有较大的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球 现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球. 答: 第一箱. 7-17 问: 所取的球来自哪一箱？ 法三 例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p,