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定理 1 (极值第一判别法) 定理2 (极值第二判别法) 现实来源－问题的提出 [解]设公司应经营销售第一、二种设备数额分别为x1件和x2件，追求的目标为最大销售额，即： 目标函数f(X)=30x1+450x2取极大 由于营业时间有限，必须满足： 0.5x1+(2+0.25x2)x2≤800 当然，销售设备数不会为负数，即：x1≥0，x2≥0 综合得出该问题数学模型为： 目标函数 max：f(X) =30x1+450x2 约束条件 0.5x1+2x2+0.25x22≤800 x1≥0，x2≥0 解的性质 非线性规划方法概述 关于课程学习 黄金分割法（0.618 法） 优选法 1． 华罗庚的优选法（“0.618法”） 二十世纪六十年代，华罗庚创造了并 证明了优选法，还用很大的精力去推广优 选法。 “优选法”，即对某类单因素问题，用 最少的试验次数找到“最佳点”的方法。 例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间，现求最佳加入量，误差不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入100克，1002克，…，1000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。 表面上看来，似乎这就是最好的方 法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验 方法并不是最好的方法；每次取试验区间 的0.618处去做试验的方法，才是最好 的，称之为“优选法”或“0.618法”。 华罗庚证明了，这可以用较少的试验 次数，较快地逼近最佳方案。 2． 黄金分割点的再生性和“折纸法” ① 黄金分割点的再生性 即： 如果是 的黄金分割点， 是 的 黄金分割点， 与 当然关于中点 对称。 特殊的是， 又恰是 的黄金分割点。同样， 如果 是 的黄金分割点，则 又恰是 的黄金分割点，等等，一直延续下去 。再生 ② 寻找最优方案的“折纸法” 根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法——“折纸法”。 仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。 把两次试验结果比较，如果1618克的效果 较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪 去（如果1382克的效果较差，就把1382克以外 的一段纸条剪去）。 再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条 线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金 分割点），这条线在 1236克处。 按1236克做第三次试验，再和1382 克的试验效果比较，如果1236克的效果较 差，我们就把1236克以外的短的一段纸条 剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试 验点是1472克。 按1472克做试验后，与1382克的效 果比较，再剪去效果较差点以外的短的一 段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次 比一次接近我们的需要，直到达到我们满 意的精确度。 注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的0.618倍。因此，纸条的长度按0.618的k次方倍逐次减小，以指数函数的速度迅速趋于0。所以，“0.618法”可以较快地找到满意的点。 事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为“满意”的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。 0.618这个“黄金比”能产生“优选法”，这告诉我们，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。 3） 美观矩形的 宽长比 如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具） 4） 风景照片中， 地平线位置的安排 3． 黄金分割的尺规作图 设线段为 。作 ，且 ，连 。作 交 于 ， 再作 交 于 ，则 ， 即 为 的黄金分割点。 梯度法（最速下降法） 的极小点,迭代两次,计