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专训2 证比例式或等积式的技巧
证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行线或相似三角形,得到成比例线段
构造平行线法
1.如图,在△ABC中,D为AB的中点,DF交AC于点E,交BC的延长线于点F,
求证:AE·CF=BF·EC.
(第1题)
2.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F,
求证:AB·DF=BC·EF.
(第2题)
三点定型法
3.如图,在ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F.
求证:=.
(第3题)
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长线于D,交AB于E.
求证:AM2=MD·ME.
(第4题)
构造相似三角形法
5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N.
求证:BP·CP=BM·CN.
(第5题)
等比过渡法
6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.
求证:(1)△DEF∽△BDE;
(2)DG·DF=DB·EF.
(第6题)
7.如图,CE是Rt△ABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP于点G,交CE于点D.
求证:CE2=DE·PE.
(第7题)
两次相似法
8.如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,∠ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F.
求证:=.
(第8题)
9.如图,在ABCD中,AM⊥BC,AN⊥CD,垂足分别为M,N.求证:
1)△AMB∽△AND;
(2)=.
(第9题)
等积代换法
10.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
=.
(第10题)
等线段代换法
11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点P是ADCF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,
求证:BP2=PE·PF.
(第11题)
12.如图,已知AD平分∠BAC,AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证:PD2=PB·PC.
(第12题)
答案
1.证明:如图,过点C作CM∥AB交DF于点M.
∵CM∥AB,∴∠FCM=∠B,∠FMC=∠FDB.∴△CMF∽△BDF.
∴=.
又∵CM∥AD,
∴∠A=∠ECM,∠ADE=∠CME.
∴△ADE∽△CME.∴=.
∵D为AB的中点,∴BD=AD.
∴=.∴=.
即AE·CF=BF·EC.
(第1题)
2.证明:过点D作DG∥BC,交AC于点G,
易知△DGF∽△ECF,△ADG∽△ABC.
∴=,=.
∵AD=CE,∴=.∴=.
即AB·DF=BC·EF.
点拨:过某一点A”型或“X”型的基本图形,通过相似三角形转化线段的比,从而解决问题.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥DC,∠A=∠C.
∴∠CDF=∠E.
∴△FCD∽△DAE.∴=.
4.证明:∵DM⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠B+∠BEM=90°,∠D+∠DEA=90°.
∵∠BEM=∠DEA,∴∠B=∠D.
又∵M为BC的中点,∠BAC=90°,
∴BM=AM.
∴∠B=∠BAM.
∴∠BAM=∠D.即∠EAM=∠D.
又∵∠AME=∠DMA.
∴△AME∽△DMA.
∴=.即AM2=MD·ME.
(第5题)
5.证明:如图,连接PM,PN.
∵MN是AP的垂直平分线,
∴MA=MP,
NA=NP.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°.
∴∠2+∠4=60°.
∴∠5+∠6=120°.
又∵∠6+∠7=180°-∠C=120°,
∴∠5=∠7.∴△BPM∽△CNP.
∴=.即BP·CP=BM·CN.
6.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵DE∥BC,
∴∠ABC+∠EDB=180°,∠ACB+∠FED=180°.∴∠FED=∠EDB.
又∵∠EDF=∠DBE,
∴△DEF∽△BDE.
(2)由△DEF∽△BDE得=.即DE2=DB·EF.又由△DEF∽△BDE,得∠GED=∠EFD.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.
∴=.即DE2=DG·DF.
∴DG·DF=DB·EF.
7.证明:∵BG⊥AP,PE⊥AB,
∴∠AEP=∠DEB=∠AGB=90°.
∴∠P+∠PAB=90°,
∠PAB+∠ABG=90°.
∴∠P=∠ABG.∴△AEP∽△DEB.
∴=.即AE·BE=PE·DE.
又∵∠CEA=∠BEC=90°,
∴∠CAB+∠ACE=90°.
又∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBE=90°.
∴∠ACE=∠CBE.∴△AE
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