2017秋(北师大版)九年级数学上册第4章 阶段方法技巧训练(二) 专训2 证比例式或等积式的技巧.docVIP

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专训2 证比例式或等积式的技巧 证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行线或相似三角形,得到成比例线段 构造平行线法 1.如图,在△ABC中,D为AB的中点,DF交AC于点E,交BC的延长线于点F, 求证:AE·CF=BF·EC. (第1题) 2.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F, 求证:AB·DF=BC·EF. (第2题) 三点定型法 3.如图,在ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F. 求证:=. (第3题) 4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长线于D,交AB于E. 求证:AM2=MD·ME. (第4题) 构造相似三角形法 5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N. 求证:BP·CP=BM·CN. (第5题) 等比过渡法 6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE. 求证:(1)△DEF∽△BDE; (2)DG·DF=DB·EF. (第6题) 7.如图,CE是Rt△ABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP于点G,交CE于点D. 求证:CE2=DE·PE. (第7题) 两次相似法 8.如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,∠ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F. 求证:=. (第8题) 9.如图,在ABCD中,AM⊥BC,AN⊥CD,垂足分别为M,N.求证: 1)△AMB∽△AND; (2)=. (第9题) 等积代换法 10.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. =. (第10题) 等线段代换法 11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点P是ADCF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F, 求证:BP2=PE·PF. (第11题) 12.如图,已知AD平分∠BAC,AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证:PD2=PB·PC. (第12题) 答案 1.证明:如图,过点C作CM∥AB交DF于点M. ∵CM∥AB,∴∠FCM=∠B,∠FMC=∠FDB.∴△CMF∽△BDF. ∴=. 又∵CM∥AD, ∴∠A=∠ECM,∠ADE=∠CME. ∴△ADE∽△CME.∴=. ∵D为AB的中点,∴BD=AD. ∴=.∴=. 即AE·CF=BF·EC. (第1题) 2.证明:过点D作DG∥BC,交AC于点G, 易知△DGF∽△ECF,△ADG∽△ABC. ∴=,=. ∵AD=CE,∴=.∴=. 即AB·DF=BC·EF. 点拨:过某一点A”型或“X”型的基本图形,通过相似三角形转化线段的比,从而解决问题. 3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥DC,∠A=∠C. ∴∠CDF=∠E. ∴△FCD∽△DAE.∴=. 4.证明:∵DM⊥BC,∠BAC=90°, ∴∠B+∠BEM=90°,∠D+∠DEA=90°. ∵∠BEM=∠DEA,∴∠B=∠D. 又∵M为BC的中点,∠BAC=90°, ∴BM=AM. ∴∠B=∠BAM. ∴∠BAM=∠D.即∠EAM=∠D. 又∵∠AME=∠DMA. ∴△AME∽△DMA. ∴=.即AM2=MD·ME. (第5题) 5.证明:如图,连接PM,PN. ∵MN是AP的垂直平分线, ∴MA=MP, NA=NP. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°. ∴∠2+∠4=60°. ∴∠5+∠6=120°. 又∵∠6+∠7=180°-∠C=120°, ∴∠5=∠7.∴△BPM∽△CNP. ∴=.即BP·CP=BM·CN. 6.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵DE∥BC, ∴∠ABC+∠EDB=180°,∠ACB+∠FED=180°.∴∠FED=∠EDB. 又∵∠EDF=∠DBE, ∴△DEF∽△BDE. (2)由△DEF∽△BDE得=.即DE2=DB·EF.又由△DEF∽△BDE,得∠GED=∠EFD.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF. ∴=.即DE2=DG·DF. ∴DG·DF=DB·EF. 7.证明:∵BG⊥AP,PE⊥AB, ∴∠AEP=∠DEB=∠AGB=90°. ∴∠P+∠PAB=90°, ∠PAB+∠ABG=90°. ∴∠P=∠ABG.∴△AEP∽△DEB. ∴=.即AE·BE=PE·DE. 又∵∠CEA=∠BEC=90°, ∴∠CAB+∠ACE=90°. 又∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠CBE=90°. ∴∠ACE=∠CBE.∴△AE

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