2017秋（北师大版）九年级数学上册第1章 阶段方法技巧训练 专训2　利用特殊四边形的性质巧解动点问题.docVIP

专训2　利用特殊四边形 名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答． 平行四边形中的动点问题 1．如图，在ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由． (第1题) 菱形中的动点问题 2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上． (1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF； (2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形． (第2题) 矩形中的动点问题 3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O. (1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并AF的长． (2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (第3题) 正方形中的动点问题 4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由． (第4题) 答案 1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF. 又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD. ∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°， ∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF. 2．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD， ∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF. (2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形， AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF. ∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形． 3．解：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO. ∵EF垂直平分AC，垂足为O， ∴OA＝OC. ∴△AOE≌COF.∴OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形． 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形． 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm， 在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， ∴AF＝5 cm. (第3题) (2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，QDE或CE上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA. ∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s， ∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得t＝. ∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝. (第4题) 4．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD. ∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.　 ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2. ∴四边EFGH为菱形． ∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2， ∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°. ∵四边形EFGH为菱形， ∴四边形EFGH是正方形． (2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点． ∵BE DG， ∴四边形BGDE为平行四边形． ∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD. ∴点O为正方形的中心． ∴直线EG必过正方形的中心．