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小波简介 摘要 小波是数学函数，它把数据分割成不同的频率成分，然后用与其规模相匹配的解决方案来研究每个频率成分，小波在物理情况下比传统的傅立叶方法有诸多的优点，即在信号包含不连续点和尖峰值的时候。小波在数学，量子物理，电器工程和地质学方面都有独立的发展。在过去的十年间这些独立的领域之间的交流导致了许多新的小波应用。比如图象压缩，湍流，人的视觉，雷达，地震预测等。本卷把小波介绍给那些数字信号处理领域之外的有兴趣的技术人员，我从傅立叶方法开始对小波的发展史做了描述，比较了小波变换和傅立叶变换，以及其他的特殊小波方面。以一些有趣的例子作为结束，如图象压缩，音乐音调和去噪数据。 1：波回顾 小波分析的基本方法是按照规模来分析，的确，一些小波领域的研究人员感觉通过使用小波你其实是在处理数据时候采用了一种全新的思维模式，或者说观点。 小波是可以满足特定数学要求的函数，被广泛用于数据重现和其他用途。其实这种方法并不是一种新的方法，自从19世纪早期，当傅立叶发现他可以叠加正弦和余弦函数来重现其他的函数或应用时，这种利用叠加的近似已经存在了。 然而在小波分析的过程当中，我们用于观察数据的规模扮演了特殊的角色，小波分析方法以不同的规模和解决方案来处理数据，如果我们用一个小窗来观察信号，我们可以注意到一些微小的特征，小波分析的结果是我们既可以看到森林又可以看到树木。 这一切使得小波方法有趣而且有用。数十年来，科学家希望找到比正弦和余弦（包括傅立叶分析法）更好更合适的函数来近似信号（1），经过这些科学家的定义，这些函数都是非本地的，是无限延拓的，他们因此也做了许多尖峰近似的工作，但随着小波分析的出现，我们可以用一些包含有限应用的近似函数，小波分析法特别适合于有尖峰成分的近似数据。 小波分析过程采用了一种小波原形函数，即所谓的分析小波或叫做母小波。状态分析是和合同的，高频率，的原型小波一起起作用的，但是频率分析是与不合同的低频率的同小波一起起作用的，因为原始信号或函数可以以小波拓展的形式得到重现（即使用小波函数的线形组合的系数），数据操作可以只用相应的小波系数来完成。如果你想进一步选择适合你的数据的最好的小波或低于某个阈值的系数，你的数据会被稀疏的重现，这种稀疏的编码方案使得小波成分数据压缩领域的完美的工具。 其他的包含小波应用的领域包含天文学，声学，原子工程，子带编码，信号和图象处理，神经学，音乐，磁成象，语音歧视，光学，湍流，地震预测，雷达，人的视觉和纯的数学应用，比如，解偏微分方程。 2：史的角度 在数学的发展史中，小波分析展现了许多不同的起源（2），许多的工作都是在20世纪30年代完成的，而那时，个别的努力并没有成为一个完整理论体系的组成部分。 2．1 1930年之前 在1930年以前，数学领域的主要分支导致了小波以傅立叶方法（1807）为开始，傅立叶方法是频率分析理论，现在常称之为傅立叶合成，他声称任何以2∏为周期的函数f(x)都是其傅立叶级数的和，即： （1） 其中的系数a0,ak和bk分别是： 傅立叶的声明在数学家已经有的关于这个函数的理念的解决上起了不可或缺的作用，他打开了通向一个新的功能性“宇宙”的大门。 1807年之后，通过研究这些函数的意义，傅立叶级数的收敛性，正交系统性，数学家们被渐渐从他们先前的频率分析的概念引领到了规模分析的概念上了，即，通过创建规模可变的数学结构来分析f(x)，但是怎么作呢？创建一个函数，通过一些代价来转变它，改变它的规模，分析它在近似一个信号中的结构，现在来重述这个过程，采用基本结构，转变它，把它规模化，把他应用到一个同样的信号以便获取一个新的近似，等等，结果表明，这种规模分析对噪音有很低的敏感性，因为他以不同的规模来衡量平均信号波动。 关于小波的首次提及出现在?A。Haar（1909）的论文中，Haar小波理论的一部分，即此理论有紧支集，即在一个有限的范围之外他会消失，但不幸的是Haar小波不是连续可微分的，这在某种程度上限制了他们的应用。 2．2 20世纪30年代 在20世纪30年代，很多的团队都在独立的研究利用规模可变函数方案的函数功能的重现，理解基本函数的概念和可变规模的基函数，关键即理解小波，下面的内容给那些有兴趣的人提供简短的学习。 通过使用规模可变的基函数，即称为Haar的基函数，Paul Leuy，一位20世纪30年代的物理学家，调查研究了布朗运动，一种随即信号（2），他发现在研究布朗运动的小的复杂的细节上Haar基函数优于傅立叶基函数。 另一个20世纪30年代的努力研究是Littlewood,Paley和Stein，计算了函数f(x)的能量，即： （2） 如果能量集中在一些点的附近或分布在一个大的区域里，这个公式的计算结果是不一样的，这样的结果困扰着科学家们，因为他显示了能量可能