高等代数第9章入-矩阵.pptVIP

第9章 ?-矩阵 §1 ?-矩阵 §2 ?-矩阵在初等变换下的标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 初等因子 §6 Jordan标准形的理论推导 §7 矩阵的有理标准形 §1 ? - 矩阵 一. 概念 设P是一个数域, ?是一个文字,作多项式环P[?]. 如果一个矩阵其元素是?的多项式, 即P[?]的元素, 就称为? -矩阵. 常用A(?),B(?)表示. 数字矩阵: 特殊情形. 运算:与数字矩阵相同. ? -矩阵的行列式是? 的一个多项式,与数字矩阵的行列式有相同的性质. 二. ? -矩阵的行列式 ? -矩阵的行列式是? 的一个多项式,与数字矩阵的行列式有相同的性质. 子式、非零子式. ? -矩阵的秩. 零矩阵的秩规定为0. 例 设 因为A(?)的4个3阶子式全等于零,而有一个2阶子式,则 A(?)的秩为2. 三. ? -矩阵的逆矩阵 定义 设A(?)是一个n×n的?-矩阵,如果有一个n×n的? -矩阵B(?)使 A(?)B(?)=B(?)A(?)=E 则称A(?)是可逆的,称B(?)为A(?)的逆矩阵. 注(1)这里 E是n级阶单位矩阵; (2)这样的矩阵B(?)是唯一的, 记作A-1(?). 伴随矩阵A*(?): 同数字矩阵. 定理 一个n×n的?-矩阵A(?)是可逆的充分必要条件为行列式|A(?)|是一个非零的数. 证 先证充分性,设 d=|A(?)| 是一个非零常数. A*(?)是A(?)的伴随矩 阵, 也是一个?-矩阵, 而 A(?) A*(?)= A*(?)A(?)= E 因此，A(?)可逆. 反之,若A(?)可逆, 两边取行列式, |A(?)||B(?)| = |E|=1 因为|A(?)|与|B(?)|都是?的多项式,所以都 只能是零次多项式,即非零常数. 推论 如果A(?)可逆,则 A-1(?)= A*(?) 其中d=|A(?)|是数域中P一个非零常数. 例2 设 因为|A(?)|=0, 所以A(?)不可逆. 因为|B(?)|=?2(?+1), 不是非零常数, 所以 B(?)不可逆. 例4 因为|C(?)|= -3, 所以C(?)可逆, 且 注 称行列式不为0的矩阵为非退化的. 对数字矩阵和?-矩阵,非退化的含义不同. 四、?-矩阵的多项式表示 设?-矩阵A(?)的元素的最高次为m,则A(?) 可以表示成 A(?)= ?mAm+?m-1Am-1+…+ ?A1+A0 这里Ai都是数字矩阵. ?-矩阵的多项式的运算与一般多项式相 同. 由于矩阵的乘法不满足交换律, 故?-矩阵 的多项式的乘法不满足相应的次数规律. 两个非零?-矩阵(多项式)相乘可能是零. §2 ?-矩阵在初等变换下的标准形 一.初等变换与初等矩阵 ?-矩阵的初等变换:指下面的三种变换 (1)矩阵的两行(列)互换位置; (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c; (3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的?(?)倍, ?(?)是一个多项式. ?-矩阵的初等矩阵: 由单位矩阵经一次?-矩阵的初等变换得 到的?-矩阵称为初等?-矩阵. P(i, j); P(i(c)); P(i, j(?)) 对一个s?n的?-矩阵A(?)作一次初等行变 换就相当于在A(?)的左边乘上相应的s?s 初等列矩阵; 对A(?)作一次初等变换就相 当于在A(?)的右边乘上相应的n?n的初等 矩阵. 初等矩阵都是可逆的, 并且有 P(i, j)-1=P(i, j) , P(i(c))-1=P(i(c-1)), P(i,j(?))-1=P(i,j(-?)). 定义 ?-矩阵A(?)称为与B(?)等价,如果可 以经过一系列初等变换将A(?)化为B(?). 等价是?-矩阵之间的一种等价关系,即满 足如下三条; (1) 自反性: 每个?-矩阵与自己等价. (2)对称性:若A(?)与B(?)等价,则B(?)与 A(?)等价. (由于初等变换具有可逆性). (3) 传递性:若A(?)与B(?)等价, B(?)与C(?) 等价