第四章 空间有限元.pptVIP

有限元法基础及ANSYS应用 Finite Element Analysis and ANSYS Application 武汉理工汽车工程学院 刘志恩 4-1 空间问题简介 4-2 轴对称问题 1）几何形状关于轴线对称； 2）作用于其上的载荷关于轴线对称。 3）约束条件关于轴线对称。 因过z轴的任一子午面都是对称面， 其上任一点p只在该平面上发生位移，即 弹性体内任一点的位移、应力与应变只 与坐标r、z有关，与 无关。从而，轴 对称问题可转化为二维问题，但因与平面 问题有区别，常称为二维半问题。 4-2 轴对称问题 2、基本方程 位移分量 应力分量 应变分量 虚功方程 4-2 轴对称问题 4-2 轴对称问题 3、单元位移函数 利用节线位移，待定系数，可得 4-2 轴对称问题 4、应变矩阵 其中 为r的函数，故[B]的元素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r---》0时，f不存在，即奇异，需近似处理。 5 单元应力 对于各向同性材料，轴对称问题的应力－应变关系为： 其中子矩阵 而 6、刚度矩阵 写出分块形式： 由于B中还有r和z，故积分不能简单求得。现用单元形心坐标r’和z’代替，当作常量进行积分 4-2 轴对称问题 7、轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别） 1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接； 2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 3）单元边界是一回转面； 4）应变分量 中出现了 ，即应变不是常量；且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。 4-3 空间问题有限元法 1、基本方程 4-3 四面体单元 1）单元类型：四面体单元节点位移向量 2）位移函数 线性位移函数 4-3 四面体单元 利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式 其中 这些系数为四面体体积V各行各元素的代数余子式 4-3 四面体单元 3）应变矩阵 其中 显然[B]为常量矩阵，故四面体单元为常应变单元 4-3 四面体单元 4）刚度矩阵 5-1 等参数单元 从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。本章将介绍的等参单元具有此特点。 所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。 由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。 借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。 5-1 等参数单元 1、等参变换 将局部坐标下的规则形状单元转换为总体坐标下几何形状扭曲的单元，以满足任意形状离散的要求。 最方便的变换函数是： m为单元节点数，Ni为局部坐标下表示的形函数，xi为总体坐标下的节点坐标 对四节点四边形等参元，Ni如右 5-1 等参数单元 变换实例 5-2 等参数单元形函数 2、形函数的性质同前 在矩形单元上的变化如图 5-2 等参数单元形函数 形函数N1的正确表示 5-3 等参数单元位移函数 3、等参单元位移函数：单元内任意点p的位移函数(2D)： 其中：Ni和坐标变换式的形函数相同。 5-4 等参数单元刚度矩阵 4、等参单元刚阵 1）应变矩阵 注意：应变为位移对x，y的导数，如四节点四边形单元计算式如右： 2）复合求导 利用x，y，z与局部坐标系的关系，有 5-4 等参数单元刚度矩阵 2）复合求导 记为矩阵(如四节点四边形单元) [J]称为Jacobi矩阵，由坐标变换式确定，当[J]的逆存在时，则形函数对x，y的导数可求，即应变阵可求。 5-4 等参数单元刚度矩阵 应变矩阵 5-4 等参数单元刚度矩阵 3）刚度矩阵 一般而言，等参单元的刚度积分很难有解析式，必须进行数值积分，目前普遍采用高斯数值积分法。(略) 5-5 空间六面体单元 5-5 空间六面体单元 5-6 等参数单元说明 等参单元的几点说明： 1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。证明略。 2）等参单元存在的充要条件是： 为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。 5-6 等参数单元说明 3）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。 4）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计