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CT 系统参数标定及成像 摘要 CT 的图像重建理论的提出是1917 年奥地利数学家Radon 提出的投影重建图 像的理论。Radon 的理论解决了从函数线积分求解得到原函数的问题，就是从物 体的一组横截面的投影重建横截面图像的过程。 针对问题一：本文运用了几何模型。首先，对附件二中数据进行可视化处理， 用MATLAB 画出附件二中所给的数据对应的色彩深度图像，然后计算出探测器单 元的距离d 为0.2759mm 。其次，通过文献查找，得到了光线通过均匀介质的能 量损失和介质距离间的函数关系式。再找出光通过椭圆长轴，小圆直径时的能量 的损失量的大小来确定出函数的两个常数。解出每次旋转后光线的角度cita 然后 通过光线穿过椭圆后接收器接受到的数据中的最大的 3 个值。用此估计倾斜角 cita 通过椭圆中心的直线所截得的椭圆长轴L，然后该X 光线通过小圆距离为m, 两者相加就等于接收器中的数据最大值转化成的距离值，因此可以得出每一个 cita 为1.0000°。最后，通过分析旋转所造成接收器上接受小圆的数据位置偏移， 求出旋转中心相对于托盘中的位置（-9.273,5.536 ）。由旋转相对性可以得出，把 CT 系统发射器接收器看做稳定不变，而托盘与其物体以顺时针的方向旋转。通 过旋转的位置和几何关系求出圆心的水平偏移 deltal,而水平偏移就等于接收器 上小圆的轨迹。 针对问题二：本文运用了基于拉东变换（Radon）的图像重建模型。首先， 运用 MATLAB 对数据进行了分析，利用拉东变换（Radon）的逆变换原理，依据 附件3 提供的未知介质的投影数据信息，得到 362×362 维的吸收率矩阵，然后 通过imresize 算法对矩阵进行维度缩放，得到256×256 维的吸收率矩阵，从而得 到附件4 中对应10 个点坐标的吸收率。并且通过图像重建确定了未知介质的位 置和几何形状。 针对问题三：1.基于问题二所建立的模型，运用拉东变化逆变换（Iradon ） 算法，利用附件 5 的投影数据信息，得到重建图像以及吸收率矩阵，又依据 MATLAB 中 imresize 矩阵放缩算法得到附件4 中10 个点的吸收率。 针对问题四：因为CT 的测量存在误差，由查阅文献得，目前CT 的误差来源 于：CT 系统的角度误差，尺寸示值误差，坐标测量误差，重复性误差等。CT 系 统误差源的分析和校准具有重要意义，本文对误差的来源归纳分析，提出了优化 模型，对CT 发展具有参考作用。 关键词：几何解析模型、朗伯定律、Iradon 变换、图像重建、探测误差 一、 问题重述 CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能 量的吸收对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构 信息。CT 扫描主要由 X 射线管和不同数目的探测器组成，可以用来接受信息。 题目给了本文一种典型的二维 CT 系统， X 射线垂直于探测器平面且平行入射， 每个探测器单元可以看成一个接收点，并且等距排列。已知X 射线的发射器和探 测器相对位置固定不变，且整个发射-接收系统绕某固定的点逆时针旋转180 次。 对每一个X 射线方向，在具有512 个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的 二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180 组接收信 息。 CT 系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT 系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT 系统的参数， 并据此对未知结构的样品进行成像。 请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题： (1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信 息如图2 所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收 强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件 2 。请根据这一模 板及其接收信息，确定CT 系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之 间的距离以及该CT 系统使用的X 射线的180 个方向。 (2) 附件3 是利用上述CT 系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得 到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸