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* 第三节 向量值函数在定向曲线上的积分 （第二类曲线积分） 本节要点 一、第二类曲线积分的概念 二、第二类曲线积分的计算方法 在第一节中，讨论的是对弧长的曲线积分，这是一种 1.定向曲线及其切向量 一、第二类曲线积分的概念 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等， 均与方向无关. 在这一节中，我们讨论与“方向”有关的 曲线积分，例如，变力沿曲线作功与曲线的走向有关. 给定一条曲线，并规定了正向，称此曲线为定向曲线. 一条曲线有两种走向，规定一种走向为正向，另一种 为反向. 一般用 表示以 为正向的定向曲线. 而 表示反向. 并且规定：曲线上与曲线正向一致的切向量 为定向曲线的切向量. 若定向曲线 由参数方程给出： 其中 对应曲线起点 ， 对应曲线终点 . 则在曲线 上一点 处的切向量为 ①当 时，切向量为 ②当 时，切向量为 证：当 时，参数在增大时，点往正向移动， 所以在 时，曲线上的点 在点 的前方， 故而定向曲线在 点处的切向量 当 时， 与曲线正向一致. 与曲线正向一致. 2.变力沿曲线所作的功 一质点受到力 的作用， 求力 所作的功. 沿定向曲线 从 移动到 解 质点受常力 作用沿直线 移动，力 所作的功为 下面用元素法分析变力沿曲线所作功的问题. 先将 分割成若干定向小曲线， 其中一段记为 长为 则 为 点的切向量. 变力 沿 所作的微小功为 所以，变力 沿定向曲线 所作的功为 曲线上一点的单位切向量设为 作用于该点的力设为 则有 如果在平面直角坐标系下， 3.第二类曲线积分的定义 设 是 平面上一条光滑的定向曲线， 是定向曲线上点 处的单位切向量, 向量值函数 在 上有界， 如果积分 存在，则称之为向量值函数 在定向曲线 上的积分. 记为 其中 即： 注 向量值函数在定向曲线上的积分又称为 第二类曲线积分. 如果记 由于 故 即 第二类曲线积分可以表示为. 在积分记号中， 称为定向弧元素；由于 因此，第二类曲线积分又称为对坐标的曲线积分. 若 是封闭曲线，则积分经常表达为 故记号 分别称为定向弧 的投影元素； 又称为定向弧元素 的坐标， 另外 二、第二类曲线积分的计算方法 设平面定向曲线 的方程为 函数 在 上连续，则 由于 现要计算 ①当 时，切向量为 按第一类曲线积分的计算公式 ②当 时，切向量为 按第一类曲线积分的计算公式 同样有 由此得到： 由此得到，无论 的大小关系如何，总有 特殊地，若平面曲线由方程 相当于参数方程为 若定向曲线为平行于 轴的有向直线段， 相应的参数方程为 若定向曲线为平行于 轴的有向直线段， 相应的参数方程为 例 求 ， 其中 自 到 的定向曲线弧. 解 例 求 ， 其中 自 到 的折线段. 解 将 分成两段 和 解 ① 例 求作用力 沿下述路径所作的功， ②沿 轴自 到 ，再沿直线到 ①沿 自 到 ② 例 求 ， 其中