吉林省伊通满族自治县第三中学校高中数学必修四：2.2.3数乘向量.ppt

* 2.2.3 数乘向量 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 特点:共起点 B A O 特点：共始点，连终点，指向被减 2.向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: 复习 实际背景 练习1: O A P B 探究: 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？ -a 如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a). a a -a a a -a OA= a+a+a PB= (-a)+(-a) =3a =-2a 定义 实数?与向量a 的乘积是一个向量，记为? a， 它的模| ? |·| a |，如果a≠0， 当? 0 时, ? a 与 a 同向， 当? 0 时, ? a 与 a 反向。 当 ? = 0 时， 0 · a = 0 a = 0时， ?· a = 0 实数?与向量 a 的乘积运算叫向量的数乘 运算， ?叫做向量a的系数。 a a (? 0) a (? 0) 一：数乘向量的定义. 数乘向量的几何意义是把向量 沿着 的方向或 的反方向放大( )或缩小 ( ) 二、几何意义: 练习2: 结论: 2a+2b=2(a+b) 结论: 3(2a)=6 a (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并说明两者关系. (2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。 一般地: 一般地: 一般地： (3) 三.数乘向量运算定律 : 结合律：λ(μa)=(λμa) ; 第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa ; 第二分配律：λ(a+b)=λa+λb . 关于向量数乘的几点说明 （1）向量数乘结果是一个与已知向量共线 的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算， （3）任意实数与零向量的乘积仍为零向量； 7 例1：计算： （1） ； （2） （3） (4) (?+μ ) (a – b) – (? – μ ) (a + b) = ?(a–b)+μ(a–b) –?(a+b)+μ(a+b) = ?a–?b+μa–μb–?a–? b+μa+μb = 2μa–2?b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。 　　对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ , 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b 例2. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证: Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 解1：因为 例题分析 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ E 过点B作BE,使 连接CE 则四边形ABCD是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点. 由向量加法平行四边形法则有 解2: 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 . E C O D B A 解：因为A是BC的中点，所以 b a 反馈演练： 对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,μ 问题1：如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？ 探究: 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数λ，使得 b=λa 2) b 可以是零向量吗? 思考:1) a为什么要是非零向量? 四.平面向量共线定理 例3. 如图所示，已知 说明向量 的关系。 例4：设a，b是两个不共线的向量，已知 AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线。 证明：∵BD=BC+CD =(2a+8b)+3(a-b) =5a+5b =5(a+b) =5AB ∴BD//AB ，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线 *