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复变函数中线性变换的几个重要结论及其应用 第25卷第6期 2007年12月 江西 JIANGXI 科学 SCIENCE Vo1.25No.6 DeC.2007 文章编号:1001—3679(2007)06—0693—05 复变函数中线性变换的几个重要结论及其应用 魏敏,王磊2 (南京农业大学理学院,江苏南京210095) 摘要:线性变换是一种基本又十分重要的保形变换.对线性变换进行了一些基本研究,对线性变换给出了部 分说明.在对线性变抉的基本性质进行了阐述的基础上得到了几个重要结论.本文同时给出了线性变换在生 产生活方面上的应用,着重介绍了保形变换在稳定温度问题上的运用,从而达到理论与实际相结合的目的. 线性变换是复变函数中的一个重要内容,是一种基本又十分重要的保形变换.通过线性变换,不但可以使问 题的性质更清楚,更便于分析问题,也.-q-~使问题的求解更方便,更便于解决问题. 关键词:线性变换;保形变换;稳定温度 中图分类号:017文献标识码:A SomeTheoriesandApplicationofLinearTransformation inFunctionsofComplex WEIMin,WANGLei (NanjingAculturalUniversity,JiangsuNanjing210095PRC) Abstract:LineartransformationisakindofbasicandimportantConformalmapping.Thisarticledo someelementaryresearch.WithinstructionaboutLineartransformation,thisthesisalsoexplainsbasic charactersofLineartransformationandgetsseveralimportantconelusion.Atthesametime.itpro- videstheapplicationinindustrialfield.Forexample,itespeciallyintroducethefunctionofConfor— malmappinginfixingthetemperature.Soitmakestheoryandpracticetogetherandachievesgood effect.Lineartransformationisthekeyofcomplexfunction,andalsoisafundamentalandsignificant Conformalmapping.Lineartransformation,notonlymakeproblemclearandeasytobeanalysed,but alsogetmoreconvenientwaytosolvetheproblem. Keywords:Lineartransformation,Conformalmapping,Temperatures 0引言 复变函数W=),从几何角度来看,可看作 从平面到平面的一个变换.如果W:)在 区域D内是单叶且保角的,则称此映射在D内是 保形的,或称它为D内的保形变换.本文将讨论 一 种基本的保形变换——线性变换. 1线性变换 1.1线性变换的说明 形如W=az+. b , (,ad—bc#0)的变换称为线性 十 变换,简记为W=L(z).其中a,b,c,d都是实数. 对此定义,有如下几个说明. 1.1.1说明1条件口d一6c≠0的限制是必要 收稿日期:2007—09—10;修订日期:2007—11一o6 作者简介:魏敏(1980一),女,江苏人,助教,硕士,主要研究方向:拓扑动力系统. ? 694?江西科学2007年第25卷 的,否则将导致W=L(z)恒为常数¨】. 1.1.2说明2显然,线性变换W=L()= az+b (.口d一6c≠o)的逆Z--W a 及2个线性 CZ+dC一 变换=糟61c≠0= (口d一6≠0)的复合= 麓嘉[(a]a2+b]c2adbdd)(c62+(cl2+lc2)+cl2+l2L,八. dld2)一(口lb2+6ld2)(ela2+dlc2)≠O]仍为线性 变换,故线性变换的全体构成1个变换群¨J. 1.1.3说明3W=L()可认为定义在整个扩充 平面上的.这里只要补充如下定义:如果c≠O, 在=一旦处定义W=∞;在=∞处定义= ;如c=0,在名=∞处定义W=∞.而且易知: 线性变换W=()把扩充平面单叶地变成扩充 平面,. 1.1.4说明4根据保域性定理,线性变换W= 竺(oz—be#O)在扩充.平面上是保域的,即: 若D为扩充平面上的区域,W=()为线性变换, 则G=L(D)一