第2章多元函数微分学2.5方向导数与梯度(933KB).pptVIP

一、方向导数的定义 二、梯度的概念 三、小结 讨论函数 z = f (x, y) 在一点 P 沿某一方向的变化率问题． 2.5.1 方向导数 定义2.22 记为 P 所以 解 方向导数 例2.34 设二元函数 解 推广可得三元函数方向导数的定义 2.5.2 梯度 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与 取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 例2.35 求函数 并指出u在该点沿哪个方向 的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿哪个方向减小的最快？沿哪个方向u的值不变化？ 解 方向导数取最大值的方向就是梯度方向，即（-3，3）， 单位化得 方向导数的最大值为 沿梯度的负方向，即 最快。 例2.36 设点电荷q放在坐标原点O(0,0,0)处，则在其周围将产生电场，且任一点M (x, y, z)处的电位与电场分别为 解 故 补例（习题2.5第5题） 解 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 三、小结 * 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 * 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为