第2章多元函数微分学2.8偏导数的几何应用(721KB).pptVIP

2.8.1 空间曲线的切线与法平面 2.8.2 曲面的切平面与法线 2.8 偏导数的几何应用 返 回 空间曲线L的参数方程： 其向量形式为 2.8.1 空间曲线的切线与法平面 一、设空间曲线L的参数方程为 (1) 这里假定(1)式的三个函数都可导. 在曲线L上取对应于 的一点 及对应于 的邻近一点 . 根据解析几何知，曲线L的割线 的方程是 当 沿着L趋于 ，时割线 的极限位 置 就是曲线L在点 处的切线(图8-7). 用Δt 除上式的各分母，得 令 (这Δt→0)， 通过对上式取极限，即得 曲线在点 处的切线方程 图8-7 这里当然要假定 不全为 零. 切线的方向向量称为曲线的切向量.向量 就是曲线通过L在点 处的一个切向量. 通过点 而与切线垂直的平面称为曲线L在 点 处的法平面，它是通过点 而 以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为 例2.59 求圆柱面 对应于点（0，1，0）处的切线与法平面。 解 对应于点（0，1，0）的参数是t=0， 故在点(0, 1, 0) 处的切线与法平面方程分别为 二、设空间曲线L的方程为直角坐标形式 1. L的方程为 则将其化为参数方程形式： 因此L在点 P（x0，y0，z0）处的切线与法平面方程 分别为 和 2. L的方程为 且方程组在点P(x0，y0，z0)的某个邻域内满足隐函数存在定理的条件，如设 此时，可由方程组两端对x求导（视y，z 为x 的函数） 得 解之得 从而得出切向量 进而得出切线和法平面方程。 例2.60 求曲线 在点(-2, 1, 6)处的切线和法平面方程。 解 将方程组两边对 x 求导得 解之得 所以 或 从而切线方程和法平面方程分别为 及 2.8.2 曲面的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 的情形，然后把显式给出的曲面方程z=f(x,y) 作为它的特殊情形. 设曲面Σ由方程(9)给出， 是曲 面Σ上的一点，并设函数 的偏导数 在该点连续且不同时为零.在曲面Σ上，通过点 M引一条曲线Γ(图8-8)，假定曲线Γ的参数方 程为 (9) (10) 对应于点 且 ， ， 不全为 零，则可得这条曲线的 切线方程为 图 8-8 假定曲线Γ的参数方程为 引入向量 则 表示(10)在点M处的切向量为 与向量n垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点M的 任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向 量n垂直，所以曲面上通过点M的一切曲线在点M 的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面Σ 在点M的切平面.这切平面的方程是 (12) 通过点 而垂直于切平面(12)的 直线称为曲面在该点的法线.法线方程是 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 就是曲面Σ在点M处的一个法向量. 如果曲面Σ的方程为z =f (x, y),则令 而 所以曲面Σ在点 处的法向量为 从而切平面和法线方程分别为 和 例2.61略 例2.62 求由曲线 绕 y 轴旋转 一周所得到的旋转曲面在点 处的切平 面和法线方程。 解： 旋转曲面方程为 令 故所求切平面和法线方程分别为 和 即 例2.63 求椭球面 上平行与平面 的切平面方程。 解： 令 切点为M0 过M0的切平面方程为 （M0在椭球上） 而依题意有 即 代入椭球面方程得 解得 所求的切平面方程为 补例（习题2.8第7题） 证明 * * * * * * * * * *