第2章多元函数微分学2.12.2多元函数的概念极限与连续(2019KB).pptVIP

（3） 其中 （4） 或者， 注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 . 一元中 多元中 确定极限不存在的方法： 例2.11 解 但取 其值随 k 的不同而变化。 不存在． 故 2.2.2 多元函数的连续性 定义3 定义3′ 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。 例如， 因此， 例2.12 讨论函数 的连续性。 解 函数 f 的定义域是不包含两坐标轴，但包含原点 的平面R2上所有点的集合。 又因为坐标原点（0，0）是 定义域的聚点，且 所以函数 f 在（0，0）处连续。而 f 在其定义域中 的其他点上是连续的，因此该函数在其定义域上是连 续的。 例2.13 讨论函数 在（0，0）处的连续性。 解 因为 所以函数 f 在（0，0）处连续。 多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： 例2.14 求下列函数的极限： （1） （2） （3） 解 （1） （2） 显然点（1，0）为函数的连续点，所以 （3） 因为 令 x2+y2=t, 而 而 所以 从而 即 2.2.3 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 补例1（习题2.2第3题） 证明下列函数的极限不存在： 解 大学数学 微 积 分（二） 授课教师：彭秀平 平时成绩计算方法： 【100-100×（缺课加缺作业次数）/本课程总上课次数加总作业次数】 ×30% 注： 1.作业采用每次抽查1/3的方式确定，缺课次数采取上课时签到或者点名的方式确定。 2.因病（以医院证明为准）或因公（以学校有关部门证明为准）缺作业或缺课不扣平时成绩. 复习:数轴上的邻域 回忆 2.1.1 n维空间Rn点集的有关概念 （1）邻域 二维平面上的点集 （2）区域 例如， 即为开集． 内点. 内点： 开集： 开集. 边界点： 边界点. 连通： 连通的. 开区域：连通的开集称为开区域． 例如， 例如， 闭区域： 开区域和闭区域统称区域． 对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 P∈E 与某一点 A 间的距离 |AP| 不超过 K，即 对于一切点 P∈E 成立，则称 E 为有界点集。 否则称为无界点集. 有界闭区域； 无界开区域． 例如， （3）聚点 （1）内点一定是聚点； 说明： （2）边界点可能是聚点； 例如， (0, 0) 既是边界点也是聚点． （3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, (0, 0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合． （1）内点一定是聚点； 说明： （2）边界点可能是聚点； 例如， (0, 0) 既是边界点也是聚点． （4）n 维空间 实数 x 一一对应 数轴点. 数组 (x, y) 实数全体表示直线(一维空间) 一一对应 平面点 (x, y) 全体表示平面(二维空间) 数组 (x, y, z) 一一对应 空间点 (x, y, z) 全体表示空间(三维空间) 推广： n 维数组 (x1, x2, … , xn) 全体称为 n 维空间，记为 n 维空间中两点间距离公式 设两点为 特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离． n 维空间中邻域概念： 区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 回忆 2.1.2 多元函数的概念 点集 D ---定义域， --- 值域. x、y ---自变量，z ---因变量. 类似地可定义三元及三元以上函数． 点集 D ---定义域， --- 值域. x、y ---自变量，z ---因变量. 函数的两个要素: 定义域、对应法则. 与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 例2.5 求下列函数的定义域： 解 x y z 0 y x z 例2.6 解 所以 于是 表示多元函数的方法也有多种，如公式法、图形 法、表格法等。 2.1.3 二元函数 的图形 （如下页图）