高等数学同济大学课件下第11_7傅立叶级数幻灯片.pptVIP

3. 设 又设 求当 的表达式 . 解: 由题设可知应对 作奇延拓: 由周期性: 为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 写出函数 傅氏级数的和函数 . 答案: 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 P250 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 3; 5 ; 7 ; 8 (2) 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 作业 备用题 1. 叶级数展式为 则其中系 提示: 利用“偶倍奇零” (93 考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的傅里 2. 设 是以 2? 为周期的函数 , 其傅氏系数为 则 的傅氏系数 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 傅里叶 (1768 – 1830) 法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 狄利克雷 (18 05 – 1859) 德国数学家. 对数论, 数学分析和 数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化 方法的数学家. 函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质. 他的主要 的创始人之一, 并 论文都收在《狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定 证明 * 运行时, 点击相片, 或按钮“傅立叶”, 将显示傅立叶简介, 并自动返回. * 由此定理可以看出 , 函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 这正是傅立叶级数具有广泛应用的重要原因 . 运行时, 点击相片, 或按钮“简介”, 可显示狄利克雷的简介, 并自动返回. 第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1. 组成三角级数的函数系 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (利用正交性) 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; 由公式 ② 确定的 ① ② 以 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2?的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 ( 证明略 ) 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为 解: 先求傅里叶系数 将 f (x) 展成傅里叶级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 根据收敛定理可知, 时,级数收敛于 2) 傅氏级数的部分和逼近 说明: f (x) 的情况