高等数学上第2版教学课件作者陶金瑞主编第1章节极限与连续课件幻灯片.pptVIP

定义2 设 (1) 如果 那么称 和 是同阶无穷小量；特别地当 时，称 和 是等价无穷小量，记做 ~ ； (2) 如果 那么称 是比 高阶的无穷小量， 记做 (3) 如果 是比 低阶的无穷小量。 那么称 由于 因此，当 时， 是比 高阶的 无穷小， 是比 低阶的无穷小， 与 是同阶无穷小. 4.无穷小的代换 定理1 （等价无穷小的代换定理） 若 则 （1） ； 利用无穷小量的代换，可以使计算极限的过程大为简化。 （2） 例3 求下列函数的极限： （1） （2） 当 时， 解　(1) 注：1. 等价无穷小量的代换，是指函数中乘式或除式中的因子出现无穷小量 可用其等价无穷小量来代换； 2. 若分子、分母中和差的加数、减数、被减数出现的无穷小量， 不能用 其等价无穷小量来代换.例如， 中如果 用 代换就 （2）当 时， 会得出极限为“0”的错误结论. 二、无穷大 定义3 如果当 时， 函数 的绝对值无限增大， 则称 为当 时的无穷大，记为 或 ，当 时. 如果，当 时，函数 且 无限增大， 则称 为当 时的正无穷大，记为 或 ，当 时. 类似地，可以定义 例如， 应当指出，说一个函数是无穷大时，必须要指明自变量的变化趋势；任何 一个无论多大的常数，都不是无穷大；无穷大是一个向无穷发展的趋势，不是 一个具体的数。 三、无穷大与无穷小的关系 定理2： 则 ，则 。 例3　讨论极限 解 函数 当 时为无穷大，由定理2，得 ，且 反之，如果 如果 四、练习：习题1－4　1、2 作业：习题1－4　3－6 五、本节基本要求： （1）掌握无穷小与无穷大的概念，给出自变量的变化趋势 能够判断出给出变量是 （2）能利用无穷小的性质求函数的极限。 无穷大还是无穷小。 （3）能利用无穷小的代换求函数的极限。 （4）能利用定义比较出高阶、低阶、与等价无穷小。 第五节　函数的连续性 一.函数的增量 二.函数连续性的概念 三.间断点的分类 四.闭区间上连续函数的性质 五.作业、习题 六.本节基本要求 重点：函数连续性的概念及用函数的连续性求 难点：函数连续性的概念，间断点的分类。 函数的极限。 一、函数的增量 给定一个函数 时，此函数值也从 变化到 ，此时，我们称函数值的终值减去其始值 为函数的增量，记为 ，即 。 注意：变量的增量 是指变量的终点减去它的起点， 其终点可能比起点大， 也可能 比起点小，因此 可正，可负，但不能为零； 函数的增量 可正，可负， 也可能为零。 任给一变量 当 从起点 变化到终点 时，我们称差 为变量 变换到 即　　　　　　 从 的增量（变化量），记为 ， 。 ，当它的自变量 ，在其定义域内，由 变化到 定义1 变量的增量 定义2 函数的增量 例1 设函数 ，求自变量在下列变化情况下，函数的增量。 解 （1） 从　 增加了 从1变化到3； （2） 从2变化到 ； （3） （1） （2） （3） 例2 设函数 （常数），求自变量在下列变化情况下，函数的增量。 （1） 解（1） （2） （2） 从3增加到6.5； 　　　　　　　　 从 增加到 二、函数连续性的概念 观察下列函数图象，可发现图 1－12在 点连续，图1－13在 点不连续。 通过上图，我们给出函数在点　连续的定义。 定义3 给定一个函数 ，此函数在 及 的左右近旁有定义，若当 在 点的增量 无限趋于零时，函数 相应的增量 也无限趋于零，则称函数 在 点连续。 以上定义可以归纳成两点： （1）函数在点 点及左右近旁有定义； （2）当 在 点的增量 时，有 。 则函数在 点连续. 例：证明函数 在点 点连续。 证：（1）因为函数在 点有定义； （2）当 在 的近旁有增量 时，即 所以当 时， ，函数在 点连续. （1）给定一个函数 ，此函数在 及 的左右近旁有定义； （2）函数在 点的极限存在； （3）函数在 点的极限等于它在 点的函数值，即 称函数在 点连续. 上述三个条件只要有一个条件不满足，函数在 点就不连续，此时我们称，点 是函数 的间断点。如图所示： 定义4 例3　判断下列函数在给定点的连续性。 （1） 在 ， 点. （2） ，在 点. （3） ，在 点. 解（1）因为函数在 点定义不存在，所以在此点不连续； ，所以函数在此点连续。 在　　　点， 且 （2）因为 所以 不存在， 以