高等数学上第2版教学课件作者陶金瑞主编第2章节导数与微分课件幻灯片.pptVIP

例1 求由方程 所确定的函数 的导数. 解：将方程两边对 求导数，得 所以 说明：将此函数化为显函数再求导，可得到同样的结果. 例2 求由下列方程所确定的函数的导数： (1) (2) 解： (1)方程两边对 求导数，得 解出 得 （2）方程两边对 求导数， 得 解出 得 ， 例3 求圆 在点 的切线方程. 解 方程两边对 求导数，得 解 出，得 把点 的坐标代入，得切线的斜率 由直线方程的点斜式，得 整理得切线方程为 对数求导法 有时所给的函数是幂指函数的形式，即 或是幂、积、商很复杂的式子，这些函 它们化为隐函数，然后按照隐函数求导法则求出原函数 ， 数虽然是显 函数， 但直接求它的导数很烦琐，可先用两边取对数的 方法将 的导数. 这种方法称为“对数求导法”. 例4 求下列函数的导数： (1) (2) 解：（1）此函数是幂指函数，两边取自然对数 解出 ， 即得所给函数的导数为: 化为隐函数，得: 上式两边对 求导数，得 （2）此函数是含有幂、积、商的复杂式子，直接求导很麻烦，因此，两边取对数并根据对数的运算法则，得 上式两边对 求导数，得 解出 ，即得原函数的导数为: 二、 由参数方程所确定的函数的导数 一般地，参数方程 可以确定 与 函数关系.这种关系，有时可以用显函数表示出来. 例如 消去参数 可得 （称为普通方程）， 由此可求出 之间的 ， 但对于有些参数方程，它所确定的 关于 关系，很难化为普通方程. 因此我们希望寻找一种不消去 而直接从参数方程求 的方法. 的函数 参数 . 根据导数又称微商这一结论，在 中同除以 ，得： 即 这就是参数方程所确定的 与 方法，其结果一般仍为关于参数的解析式. 的分子和分母 之间的函数的求导 例1 已知参数方程 ，求 解 根据参数方程的求导公式 因为 所以 解: 因为 所以，所求切线的斜率为 将 代入所给参数方程中，得切点 所以，切线的方程为 整理得 解 因为 所以 于是所求切线的斜率为 作业 习题2-4 1（1）（3）（5）； 2（1）； 3 （4） ；4；5（1）； 一、 高阶导数的概念 第五节 高阶导数 一般地，函数 的导数 仍然是 的函数，如果是可导函数，则可以继续求它的导数， ，这相当于对函数 求了两次导数， 我们称 为 的二阶导数， 记作 ， 或 ，或 例1　求下列函数的二阶导数． (1) (3) (2) 解 (1) (2) (3) 的二阶导数 类似的，函数 的导数叫作 的三阶导数.记作 或 或 ；三阶导数的导数称为四阶导数，记作 或 或 ，等等. 一般地, 的 阶导数的导数叫作 的 阶导数， 记作 或 或 例2 求下列函数的各阶导数. 解 （1） 依此类推，可得 （1） 解：（2） 观察这些导数的规律，可得 （2） 由此可得 （3） *例3 求由方程 确定的隐函数的 解 将方程两边对 求导，得 所以 二阶导数. 解 因为 所以 二 、二阶导数的力学意义 设物体作变速直线运动，其运动方程 运动的速度是路程 对时间 的导数，即 若速度 仍是时间 的函数，我们可以求速度 对时间 的导数， 表示，即 .在力学中， 物体运动的加速度，也就是说，作直线运动的物体运动的 速度 是路程 对时间 的二阶导数. .则物体 此时， 并用 称为 加 例 已知作直线运动物体的运动方程为 ，求物体运动的加速度. 解：因为 所以 注：由于二阶导数是在一阶导数的基础上再求一次导数，所以不需要引进新的公式. 设函数 在点 处可导，即 根据函数极限与无穷小的关系，有 其中， 由此得 这表明，函数的改变量 是由 和 两项所组成. ， 当 时，由 知： 是 的同阶无穷小， 是较 高阶的无穷小. 由此可见，当 时，在函数的改变量 中，起主要作用的是 ，它与 的差是一个较 高阶的无穷小. 因此， 是 的主要部分； 又因为 是 的线性函数，所以通常称 为 的线性主要部分（简称线性主部） 定义 设函数 在点 处可导，则称 为函数 在点 的微分，记为 或 即 或 此时称函数 在点 可微. 如果函数在 区间 内每一点可微，则称函数在区间 内可微. 函数在任一点 的微分，叫做函数的微分，一般 就记为 或 特别地，自变量 的微分 ，即 这就是说，自变量 的微分 就是它的改变 量 . 因此， 代替 ，即 由