高阶微分方程方程组幻灯片.pptVIP

高阶微分方程与方程组 教学要求（基本理论与方法） 一阶线性方程组的基本理论与解的性质 线性方程组的向量表示和存在唯一性 齐次与非齐次 线性方程组解的性质和结构 基解矩阵及常数变易公式 常系数线性方程组微分方程的求解 exp(At) 的定义与性质 exp(At)的三种计算方法和两种特例 常系数非齐次线性方程组的求解 齐次/非齐次 线性方程组解的性质和通解结构 解的性质（叠加原理）； 解的线性相关/无关性及判别 （Wronsky行列式） 齐次与非齐次 通解结构（基本解组） 基解矩阵及其性质、常数变易公式 基本概念：线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、初值问题、二者关系、存在唯一性 向量表示： 向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序列与级数 高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比） 矩阵指数与基解矩阵 矩阵指数exp A 的定义与性质 基解矩阵表示 基解矩阵的计算方法 基解矩阵与特征值（向量）关系 特征值（向量）方法 若当块方法 递推公式方法 高阶(线性)微分方程的求解 常系数齐次线性方程（欧拉方程）的特征根法 常系数非齐次线性方程的比较系数法 一般非齐次线性方程的常数变易法 一般高阶（线性）方程的降解法 *(了解) 二阶方程的幂级数法 （Bessel方程） 常系数齐次线性微分方程的通解---特征根法 基本解组 复解实值转化 欧拉方程的基本解组---变换 特征方程 基本解组 非齐次常系数线性方程的特解----比较系数法 类型Ⅰ 类型II 特解 特解 待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端 求出系数，从而得到特解（待定系数法！） n-k阶方程 n-1阶方程 n-1阶方程 并反复k次， 得n-k阶方程 方程 变换 结果 一般高阶方程---降阶法 二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解） 为齐次方程的基本解组，则通解： 求一般非齐次线性方程的特解---常数变易法 假设非齐次的某特解： 幂级数解法 Bssel 方程的通解公式和Bessel函数 二阶线性方程----幂级数解法* 齐次： 基本解组 非齐次： 特解 常系数齐次：特征根法 常系数非齐次：比较系数法、常数变易法、降阶法 幂级数法*、分解法 变系数方程（非齐次）：降阶法、幂级数法* 1 计算特征值，n个无关的特征向量； （I） n个线性无关特征向量情形 2 求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）； （2）求解子空间Uj并分解： （1）求A的特征值、特征向量 （3） 仅一个特征值利用 公式(5.53); （4） （II）基解矩阵的计算方法---递推法 利用递推法计算基解矩阵 结论 其中 是下列初值问题的解 (III) 基解矩阵的计算方法---递推法 练习 §3.7 稳定性问题 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。 一般的微分方程或微分方程组可以写成： 定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。 （3.28） 若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。 例7 本章第2节中的Logistic模型 共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。 当NoK时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当NoK时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。 图3-17 定义1 自治系统 的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标 的空间Rn。 特别，当n=2时，称相空间为相平面。 空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。 定义2 设x0是（3.28）的平衡点，称： （1）x0是稳定的，如果对于任意的ε0