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例5. 狄利克莱函数 狄利克莱函数的图象无法准确画出来. D(x)不是初等函数. 例6. 将下列函数分解成基本初等函数的复合. (1) y = cos2x, (2) 是由y = u2, u= cosx复合而成. (3) y = arctge–x, 是由y=arctgu, (4) 再分解. 再分解. 所以, 1. 单调性. 单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数. x y o f (x)单调递增 x y o f (x)单调递减 设f (x)在(a, b)有定义. 若?x1, x2?(a, b). x1 x2, 有f (x1)?f (x2) (f (x1)?f (x2)), 则称f (x)在(a, b)上单调递增 (单调递减). 区间(a, b)称为f (x)的单调区间. 五、函数的基本特性 如, y = x2, 图 y=x2 0 x y 在(??, 0]上单调递减, 而在[0, +?)上单调递增. 2. 奇偶性. (1) 若?x?D(f ). 有f (–x)= f (x). 则称f (x)为偶函数. 其图形关于y 轴对称. (2) 若?x?D(f ). 有f (–x)= –f (x). 则称f (x)为奇函数. 其图形关于原点对称. 设f (x)的定义域为D(f ). 满足?x?D(f ). 有–x?D(f ). 易见, 常函数y=c是偶函数. 狄利克莱函数D(x)也是偶函数. 因为若x为有理数, 则–x也是有理数, 从而 若x为无理数, 则–x也是无理数, 从而 综合起来, 总有D(x)= D(–x). 因此, D(x)是一个偶函数. D(x)= D(– x)=1 D(x)= D(– x)=0 3. 周期性. 设f (x)的定义域为D(f ). 若存在常数T?0, 使?x?D(f ). 有x?T?D(f ). 且 f (x?T)=f (x).则称f (x)为周期函数. T为f (x)的周期. 由于周期函数的函数值是呈周期变化. 因此, 周期函数的图形也是呈周期性变化. 会周而复始的重复出现. 如y=sinx, y=cosx. 易见, 若T为f (x)的周期, 则nT均为f (x)的周期, n=1,2,… , 通常称最小正周期为f (x)的周期. 画周期函数图形可以先在一周期内画好, 然后向数轴两端平移. 　　如y=sinx, 2n?都是sinx的周期, 其中n=1,2,…, 它的最小正周期为2?. 是周期函数, 它的周期为n?, n=1,2,…最小正周期为?. 有些周期函数没有最小正周期. 　　如常数函数y=f (x)=c (常数), 是一个周期函数. 任何一个大于0的常数T都是它的一个周期. 这是因为 f (x)= c= f (x+T) 　　在这无穷多个大于0的周期T中, 找不到一个最小的正周期T. 　　又如, 狄利克莱函数D(x)也是周期函数. 任何一个大于0的有理数T都是D(x)的周期. 因为 (i) 若x为有理数, 则x+T也是有理数. 从而 D(x) = 1 = D(x+T ) (ii) 若x为无理数, 则x+T也是无理数. 从而 D(x) = 0 = D(x+T ) 所以, 总有D(x) = D(x+T ). 即T是D(x)的周期. 　　但是在这无穷多个大于0的有理数T中, 找不到一个最小的T. 4. 有界性 定义4. 　　几何意义：由于| f (x)| ?M ? ?M? f (x) ?M.因此, f (x)在(a, b)内有界. 就表示了f (x)的图形夹在两平行直线y = ?M 之间. x y o a b ?M M 设f (x)在(a, b)有定义,若存在常数M0, 使?x?(a, b), 有| f (x) |?M.则称f (x)在(a, b)内有界.否则, 称f (x)在(a, b)内无界. 若?M1, 使?x?(a, b), 有 f (x)? M1, 则称f (x)在(a, b)内有上界. M1称为它的一个上界,看图. 若?M2, 使?x?(a, b), 有 M2 ? f (x), 则称f (x)在(a, b)内有下界. M2称为它的一个下界,看图. x y o a b M2 x y o a b M1 f (x)在(a, b)有界 ? f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界. 易见, 若f (x)在(a, b)有上界M1, 则它在(a, b)有无穷多个上界. 若f (x)在(a, b)有下界M2, 则它在(a, b)有无穷多个下界. 比如M2 –1, M2 – 2,… 都是它的下界. 比如M1 +1, M1 +2,… 都是它的上界. 可以证明, 在这无穷多个上界中必有一个最小的上界M, 称为f (x)在(a, b)的