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华北电力大学（保定）2009年硕士研究生入学考试试题 计算 n阶行列式；（2） 设是方程组的解。试证 （其中，）也是方程组的解。 设线性变换在基下的矩阵表示为,求在基 下的矩阵表示。 4.设分别为所有n阶方阵、所有n阶对称方阵、所有n阶反对称（斜对称）方阵成的线性空间，证明： （1）均为线性空间的子空间； （2）（是的直和）； （3）分别求出的一组基和维数。 5．设，,是张成的的子空间，定义线性映射,其中。 （1）求在的基和的基下的矩阵表示B; (2)求在的基和的基下的矩阵表示B; (3)求的象，核及他们的维数。 6. 设A是n阶方阵，I为单位矩阵，已知.试证 （1）是可逆矩阵； （2）求满足方程的X. 7. 已知，求的因式分解式。 8. 设方阵A与B可交换且均相似于对角矩阵，则他们可以同时对角化（存在可逆方阵P使得同为对角形） 华北电力大学2008年硕士研究生入学考试试题 一 完成下列各题 1. 设A是正交矩阵，则det(A)= ;A的特征值= 。 2. 矩阵的初等因子组为 ，若当标准形为 。 3. 向量组 生成的线性子空间的一个基是 ，维数是 。 4.向量的内积= ，夹角的余弦= 。 二 判断下列方程组的解的存在性，有解时求出其解。 三 验证向量：线性无关； 求出的一个向量，使它和以上两个向量一起构成的一个基； 从出发构造的一组标准正交基； 写出到的变换矩阵。 四.求一个正交变换，把下列二次型转化为标准型。 五 求方程的所有有理根； 试隔离方程的实根。 六 设矩阵 i k 其中，，矩阵中没有标出的元素均为零。 证明为正交矩阵。 证明：任意的,存在使，其中。 设，利用的性质求证正交矩阵Q和上三角矩阵R使A=QR。 设A=QR，B=RQ,Q和R如上所述，证明A与B相似。 华北电力大学2007年研究生入学试题 计算下列行列式 （1） （2） 2.求一个正交变换，把二次型 化为标准型。 3.列方程组的通解 4. 设是互不相同的数，令 ，，，证明：任意n维向量可以由线性表示。 设A是n阶方阵，f(x)是复系数多项式，证明：如果A的全部特征值为，则f(A)的全部特征值为。 设f(x)是代数多项式，a是的一个k重根，证明：a是 的一个k+3重根。 设T是欧几里得空间V的一个变换。证明:如果T保持内积不变，即任意的,,那么T一定是正交变换。 设A，B为两个n阶方阵，证明：AX=B有解的充要条件是rank(A)=rank(A B).注：(A B)是由矩阵A，B构成的增广矩阵。 设，证明I+A可逆，并求。注I为单位矩阵。 证明：秩等于r的对称矩阵可以表示为r个秩等于1的对称矩阵之和。 华北电力大学2005年硕士研究生入学试题 用g(x)除f(x)，求商q(x)和余式r（x）， 给出一个实数域R上的线性空间V的实例，并在V上定义一个内积使其成为欧几里得空间。 已知多项式有实根，求f(x)的全部根。 证明方程组 有解的充要条件是，并在有解的情况下求出它的一般解。 求由向量生成的子空间的基和维数。 设，求。 设方阵A、B是两个n阶实对称矩阵，且B是正定矩阵，证明存在n阶实可逆矩阵P使得同为对角矩阵。 华北电力大学2004年硕士研究生入学考试试题 一填空题 1.设，，则（f(x),g(x)）= 。 2.矩阵的若当标准型为 。 3.设,则 ，这里的为元素的代数余子式。 4. 在中定义的线性变换，在基下的矩阵为 。 5.在线性空间中，令，则D的值域是 ，核是 。 6.如果向量满足并且。则与的关系 7.在中定义,,则 。 8.如n阶方阵，则A的特征值为 。 9.设矩阵P可逆，则R（A）与的关系是 。 10.设可逆矩阵A的元素均为整数，则的元素均为整数的充要条件为= 。 二计算题 求的值。 三计算题 求向量 的秩及一个最大无关组 。 四计算题 设,,,求矩阵A满足关系式,求。 五计算题 设的两组基为（1）；（2），求到的过度矩阵Q，并求在基下的坐标。 六计算题 讨论取何值时线性方程组 无解，有解，有唯一解。 七计算题 用正交变换化下列二次型为标准型，并写出所用的正交变换 八证明题 已知是一个齐次线性方程组的基础解系，证明：也是该齐次线性方程组的一个基础解系。 设是空间中四点（i=1,2,3,4） R(A)=r,求证：(1)r=3则四点共面；（2）r=2则四点共线；（3）r=1则四点重合 数学分析真题 华北电力大学2006年硕士研究生入学试题 一 填空 1.设函数，则= 2.方程实